Коррупция при распределении ресурсов в статической модели сочетания общих и частных интересов

Горбанева Ольга Ивановна доктор технических наук доцент, кафедра прикладной математики и программирования, Южный федеральный университет 344090, Россия, Ростовская область, г. Ростов-На-Дону, ул. Мильчакова, 8а, каб. 212 Gorbaneva Olga Ivanovna Doctor of Technical Science Associate Professor, Department of Applied Mathematics and Programming, Southern Federal University 344090, Russia, Rostovskaya oblast', g. Rostov-Na-Donu, ul. Mil'chakova, 8a, kab. 212 gorbaneva@mail.ru Другие публикации этого автора

Работа поддержана грантом РФФИ №18-01-00053

Введение

Тема коррупции в иерархических системах управления поднимается в обществе достаточно часто, особенно при распределении ресурсов. Пионерской работой по моделированию коррупции считается ^[2].

Мальсагов М.Х., Усов А.Б., Угольницкий Г.А. в ^[3], исследовав коррупцию при распределении ресурсов в иерархических системах, пришли к выводу, что для борьбы с ней нужно повысить вероятность поимки взяточника или сделать взяточничество невыгодным для супервайзера.

В авторских же работах коррупция при распределении ресурсов рассмотрена в двухуровневых иерархических древовидных моделях ^[4]. Рассмотрены случай попустительства и вымогательства при распределении ресурсов. Доказано, что при вымогательстве Центр заставляет агента отдать половину ресурсов на взятку, урон обществу при этом составляет 75%. При попустительстве потери общества и агентов не такие значительные.

Дальнейшая структура работы следующая. В первом параграфе построенная ранее в ^[1] иерархическая надстройка над СОЧИ-моделью дополняется и усложняется целевыми функциями и ограничениями супервайзера, вводится новая стратегия агента - взятка, описывается новая структура системы, вводятся коррупционные соотношения при распределении ресурсов. Во втором параграфе применяется дескриптивный подход к исследованию коррупции при распределении ресурсов в СОЧИ-модели, в третьем – оптимизационный подход, а в четвертом параграфе описывается влияние коррупции при распределении ресурсов на системную согласованность модели. В конце статьи приведены выводы и общие результаты исследования, в частности рекомендации по борьбе с коррупцией при распределении ресурсов.

1. Построение СОЧИ-модели с коррупцией при распределении ресурсов

Имеется двухуровневая веерная система управления, в которой управляющий орган верхнего уровня – Принципал - стремится максимизировать утилитарную функцию общественного благосостояния. Описанные ранее в ^[1] модели сочетания общественных и частных интересов (СОЧИ-модели) имеют следующий вид.

Целевая функция агента:

; (1)

при ограничениях:

Целевая функция принципала:

(2)

при естественных ограничениях:

Здесь r_i – количество ресурсов у i-го агента; u_i - часть из них, направляемая на создание общего дохода; c(u) - функция общего дохода; s_i – доля участия i-го агента в общем доходе; p_i(r_i − u_i) - функция собственного дохода i-го агента, M = {1,...,n} - множество агентов в системе, образующей СОЧИ-модель. Функции p_i, c предполагаются непрерывно дифференцируемыми и вогнутыми по всем аргументам.

В данной статье рассматривается механизм распределения принципалом ресурсов между агентами r_i, 0 ≤ r_i ≤ 1, .

В данной статье рассматривается введенный в принципалом в систему средний уровень – супервайзер, который должен представлять интересы агента.

Будем считать, что верхний уровень не проявляет коррупционного поведения, но вот представляющий его средний уровень может в обмен на взятку от агентов изменять последним количество ресурсов, которые тем выделил Принципал. Соответственно, возникает коррупция при распределении ресурсов.

К исследованию коррупции при распределении ресурсов в СОЧИ-модели применены дескриптивный подход, при котором функция взяточничества считается известной и решение задачи сводится к определению оптимальной стратегии агента, и оптимизационный подход, при котором ищется оптимальная для супервайзер функция взяточничества. При этом, если последняя содержала параметры, на которые может повлиять супервайзер, то найдены оптимальные для него параметры.

Предположим, что принципал распределил имеющиеся у него ресурсы между агентами в долях r_i^P, так что . Супервайзер уменьшает выделенное Принципалом агенту количество ресурсов до уровня r_i^S, 0≤r_i^S≤ ≤r_i^P, которое агент может увеличить в обмен на взятку не больше, чем до уровня r_i^P:

(3)

здесь δi- добавка ресурсов i-му агенту в обмен на «откат», b_i- доля «отката» от δ_i, направляемая агенту от супервайзера. Тогда модель коррупции при распределении ресурсов в рассматриваемой системе имеет вид:

(4)

(5)

где g_S, g_i- целевые функции супервайзера и i-го агента соответственно.

В качестве примера можно привести систему, в котором агентами являются врачи больницы, а принципалом - государство. Государство в период пандемии COVID-19 выделяет врачу больницы, работавшему с пациентом, у которого выявлен коронавирус, надбавку к зарплате в размере 80000 рублей. Супервайзером в данной системе выступает заведующий отделения больницы, а то и всей больницы, который снижает положенные врачу выплаты, назначая пропорционально плату согласно проработавшим часам, а то и полностью лишая врача положенные ему выплаты. Факт коррупции звключается в том, что некоторым работникам больницы все-таки заведующий отделением делает выплаты в силу хороших отношений последних с главврачом либо в обмен на долю от этих выплат. Данная ситуация приводит к дестабилизации общества, так как врачи теряют заинтересованность в работе, теряется доверие к государству у представителей общества. Кроме того, указанная ситуация напрямую влияет на безопасность в стране, так как врач может уволиться с работы или работать неохотно. В первом случае нехватка врачей в такой сложный период для страны может привести к повышенной смертности населения в данный период. Во втором случае доверие к государству уже теряется у пациентов, которые не уверены, что государство в случае заражения пациента коронавирусом, предпримет все возможное для его излечения.

2. Дескриптивный подход

Рассмотрим модель в общем виде, где функция агента имеет вид g_i(b_i,δ_i,u) = p_i(r_i^S+(1−b_i)δ_i−u_i)+s_ic(u), функции p_i(x), c(x) - возрастающие вогнутые, удовлетворяющие очевидным свойствам p_i(0) = 0, c(0) = 0, а функции δ_i(x) возрастающие, удовлетворяющие свойству δ_i(0) = 0. Это - оптимизационная задач, в которой управлениями агента являются величины u_i (количество ресурсов, направляемых агентом на реализацию частных интересов) и b_i (доля от прироста ресурсов, выделяемых агенту принципалом). В этом случае будем считать, что принципал уже назначил количество ресурсов каждому агенту r_i и дальнейшего участия в игре супервайзера и агента не принимает. Супервайзер же снизил причитающееся принципалом агенту количество ресурсов до величины r_i^S и назначил функцию зависимости послабления этого ограничения δ_i от размера взятки b_i, после чего исход игры теперь зависит только от принятия решения агентом.

Теорема 1. Оптимизационная задача (5) при условиях возрастающих вогнутых функций p_i(x), c(x) и δ_i(x) и δ_i(0)= =0 имеет единственное решение:

(6)

где u_i** = (−p_i’(r_i^S + (1 − b_i^* )δ_i − u_i) + s_ic’(u))⁻¹(0),

не выполняется при условиях возрастания δ_i(x) и δ_i(0) = 0, так как для этого должно выполняться условие −δ_i(b_i) + (1 − b_i)δ’(b_i) < 0.

С учетом δ_i(0) = 0 неравенство обращается в (1 − b_i)δ_i’(b_i) < 0, или, с учетом положительности величины 1 − b_i, δ_i’(b_i) < 0, что противоречит условию возрастания δ_i(x).

Условия второго убеждают в единственности данного решения.

Утверждение доказано.

Из (6) можно сделать вывод, что 1) что размер взятки зависит от вида функции взяточничества, но никак ни от мощности функций общего и частного дохода; 2) при введении коррупционного механизма при распределении ресурсов агенту всегда выгодно давать взятку.

3. Оптимизационный подход

При оптимизационном подходе функция δ_i(b_i) определяется как оптимальный гарантирующий механизм управления супервайзера в игре типа Γ₂ с агентами.

Определим целевую функцию принципала как утилитарную функцию общественного благосостояния:

. (7)

Будем считать, что у принципала имеются ресурсы в количестве 1 (без ограничения общности 100 процентов). Напомним, что в данной постановке принципал воздействует на количество ресурсов, имеющееся у агента, т.е. назначает величины r_i^P каждому агенту с учетом ограничения.

Применим оптимизационный подход при исследовании экономической коррупции в СОЧИ-модели (4)–(5), (7). Имеется (n+2) участника модели: принципал с целевой функцией g^P (u) (7), супервайзер с целевой функцией g^S(b,δ,u) (4) и n агентов с целевыми функциями g_i(b_i,δ_i,u_i) (5). Управлениями агента по-прежнему являются величины u_i и b_i с ограничениями u_i ∈ ^[0,ri] и b_i ∈ ^[0,1]. Причем величина u_i является ответом на управление принципала r_i^P, которое удовлетворяет ограничениям, . Затем в игру принципала и агента вмешивается супервайзер, который снижает величину до уровня и предлагает агенту прибавку δ_i к величине r_i^S в обмен на «откат» b_i от прибавки. δ_i – это доля, поэтому 0 ≤ δ_i ≤ 1.

Итак, имеется иерархическая игра (n+2)-х лиц, определяемая следующими параметрами:

1. Задано множество участников – игроков N = {P,S,1,2,...,n}. Подмножества {P}, {S} и M = {1,2,...,n} определяют верхний (принципал), средний (супервайзер) и нижний (агенты) уровни иерархии. Принципал обладает правом первого хода, т.е. первым выбирает и сообщает агентам (игрокам с номерами i) свою стратегию. Супервайзер обладает правом второго хода, выбирая и сообщая агентам свою стратегию.

2. Пара <u_i,b_i> определяет управляющие параметры i-го игрока, i ∈ M, которые могут выбираться из множеств, u_i ∈ U_i = r^[0;ri], b_i ∈ ^[0,1], i ∈ M. Пусть , следовательно, <u_i,b_i>∈ U × ^[0,1]n.

Вектор определяет управляющие параметры принципала, которые выбираются из компактного множества вида .

Вектор и вектор функций δ = (δ₁,...,δ_n) определяют управляющие параметры супервайзера, где и - функции взяточничества, которые выбираются из пространства ∆_i возрастающих функций, удовлетворяющих свойству δ_i(0) = 0, т.е. .

3. На множестве U×∆×KP ×KS определены функции выигрыша агентов g_i (5), супервайзера g^S (4) и принципала g^P (7).

4. Для каждого игрока с номером i определены правила поведения, позволяющие игрокам P и S оценить множество рациональных ответов игроков с номерами i:

- стремление к максимизации функции выигрыша по своим выборам;

- стремление к достижению равновесной по Нэшу ситуации.

5. Имеющаяся игра является игрой с полной информацией за исключением того, что принципал может не знать о целевой функции супервайзера.

Принципал может использовать или не использовать обратную связь с агентом по управлению. Вводятся следующие правила:

Правило 5.1. Супервайзер рассчитывает на информацию и будет ее иметь о выборе b_i ∈ B_i, i ∈ M.

Правило 5.2. Второй ход делает супервайзер, выбирая и сообщая игрокам i ∈ M свои стратегии r_i^S ∈ K^S и δ_i ∈ ∆_i.

Правило 5.3. Каждый агент, получив информацию o r_i^S и δ_i, старается максимизировать свою целевую функцию соответствующим выбором <u_i,b_i>∈ U_i × ^[0,1].

Правило 5.4. В сформулированных условиях супервайзер максимизирует свой гарантированный результат.

Т.е. в модели есть две игры: метаигра (5), (7) и иерархическая игра (4)–(5).

Алгоритм исследования модели следующий:

1. Найти при помощи решения согласования интересов (возможно, хотя бы в слабой форме) величины u^∗, u^max и величины r_i^P (^[1]).

2. Найти равновесие в игре Γ₂ супервайзера и агента.

Теорема 2. В игре Γ₂ (4) – (5) при условии возрастающих вогнутых функций p_i(x), c(x) имеется единственный механизм управления, отвечающий интересам супервайзера:

где

Доказательство. Стратегия наказания будет считаться как величина (при наказании нет надбавки к доле общего дохода), (оптимальной реакцией агента на стратегию наказания — не платить взятку), где .

– оптимальный выигрыш агента при стратегии наказания, - выигрыш супервайзера при нулевой взятке агента.

при ограничении – максимальный доход супервайзера при условии, что выигрыш дохода агента больше, чем при стратегии наказания.

Из ограничения можно найти зависимость b от u:

.

Подставив эту величину в , получим задачу максимизации по 2n переменным u_i и δ_i:

при условии . Заметим, что в этом случае максимизируемая функция возрастает по δ_i, поэтому оптимальное значение .

Следовательно:

.

Обозначим

Докажем, что K₁≥ K₂. Для этого выпишем их разность

Учитывая произвольность , рассмотрим знак следующего выражения .

Для этого сравним следующие величины: и .

В силу неубывания p_i это сравнение эквивалентно сравнению выражений и , а оно, в свою очередь, эквивалентно сравнению выражений и . Т.е. фактически нужно сравнить доход агента в случае, когда он имеет r_i^P или r_i^S ресурсов.В ^[1] доказано, что в СОЧИ-модели большему r_i соответствует большее оптимальное u_i (а значит, выполняется ) и большее значение его целевой функции, имеющей вид (5). Следовательно, в силу эквивалентной цепочки неравенств , причем равенство наступает при r_i^P = r_i^S. Следовательно, K₁ ≥ K₂.

Выписав условия второго порядка, убеждаемся, что найденная точка — единственная точка максимума. Утверждение доказано.

Следствие 1. Агенту всегда выгодно применение механизма коррупции при распределении ресурсов.

Следствие 2. Механизм коррупции при распределении ресурсов оказывается манипулятивным со стороны супервайзера.

Итак, этот механизм выгоден супервайзеру только потому, что он выгоден агентам. Как только хоть один агент отказывается от взятки, этот механизм становится невыгодным супервайзеру.

4. Влияние коррупции при распределении ресурсов на системную согласованность

Следствие 3. Механизм коррупции при распределении ресурсов не повышает согласованность СОЧИ-модели (1) - (2).

Доказательство основывается на том, что системная согласованность возможна только на концах отрезка r^[0;ri] (^[1]). Но в случае u_i^max = 0 для агента u_i^NE = 0 в силу условия u_i^NE ≤ u_i^max = 0, т.е. в данной ситуации согласованность интересов агента и принципала была и без введения механизма коррупции. В случае u_i^max= r_i^P супервайзер ограничивает количество ресурсов u_i ^NE≤ r_i^S ≤ r_i^P ≤ u_i^max.

Выводы

В модели сочетания общих и частных интересов исследован коррупционный механизм при распределении ресурсов с применением двух подходов: дескриптивного и оптимизационного. Получены следующие выводы.

1. При применении дескриптивного подхода показано, что размер взятки зависит от вида функции взяточничества, но никак ни от мощности функций общего и частного дохода. То есть, и богатый, и бедный агент, и агент, в большей степени страмящийся к реализации общих интересов, и агент, в большей степени стремящийся к реализации частных интересов, готовы поделиться частью надбавки ресурсов с супервайзером, причем одной и той же фиксированной долей.

2. При применении оптимизационного подхода доказано, что надбавка должна быть максимально возможной, но и начальное уменьшение ресурсов должно быть максимально возможным - до нуля. В случае, если при этом стратегия агента по выделению ресурсов на общие цели не меняется, почти вся надбавка доли агента от участия в общем доходе идет в качестве взятки супервайзеру.

3. К сожалению, при введении данного механизма коррупции агенту всегда выгодно давать взятку, что затрудняет борьбу с такого рода коррупцией. А вот для супервайзера данный механизм является манипулятивным. То есть, если агент отказывается от дачи взятки супервайзеру, последний проигрывает. Ему в случае отказа агента от взятки выгодно выдать последнему все положенные тому ресурсы без взятки. Этот факт можно использовать для борьбы с коррупцией.

4. В случае введения механизма коррупции при распределении ресурсов системная согласованность не повышается. Даже изначально согласованная соответствующая СОЧИ-модель без механизма коррупции при его введении не останется согласованной за исключением случаев, когда все агенты с согласия принципала являются индивидуалистами (т.е. агентами, выделяющие вск имеющиеся у них ресурсы лишь на частные цели). А изначально не согласованная СОЧИ-модель тем более не может стать согласованной.

Эти результаты оказались сопоставимыми с результатами в ^[2], а именно: «Успех борьбы с коррупцией в рамках предложенной модели целиком зависит от того, выгодно супервайзеру (в смысле его целевого функционала) брать взятки от агентов или нет.» Так как в рассматриваемой нами модели коррупционный механизм при распределении ресурсов является манипулятивным со стороны супервайзера, то бороться с ней можно только отсутствием реакции агентов на манипуляции. Это сделать нелегко, так как агенту взятка при распределении ресурсов выгодна всегда. Здесь могут только помочь действия со стороны государства, которые ставят под сомнение весь смысл выгоды такого рода взяточничества, а именно «увеличение размера наказания за взятки и вероятность поимки взяточника». То есть с экономической коррупцией при распределении ресурсов можно бороться лишь административными методами.

Что же касается пионерской работы ^[1] по моделированию коррупции, то в ней также говорится о том, что для «ресурсной коррупции» эффективно применение политических и административных способов борьбы с ней: борьба с монополией, защита агентов, неподдающихся манипуляциям взяточников, усиление системы выявления и повсеместный контроль, что согласуется с результатами, полученными нами.

В обеих перечисленных работах также, как и у нас при применении к исследованию оптимизауионного подхода, выявлено, что учитываются только интересы супервайзера, но ни как ни агента. В нашей работе это нашло выражение в максимальной надбавке, которая почти вся идет супервайзеру. Агенту от этой прибавки идет лишь небольшая часть, равная приблизительно его порогу чувствительности.