Моделирование тел со сферическими порами методом обобщенной линейной интерполяции

Дамдинова Татьяна Цыбиковна кандидат технических наук доцент, Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления 670000, Россия, республика Бурятия, г. Улан-Удэ, ул. Ключевская, 40 В Damdinova Tatiana Tsybikovna PhD in Technical Science Associate Professor, East-Siberian State University of Technology and Management 670000, Russia, respublika Buryatiya, g. Ulan-Ude, ul. Klyuchevskaya, 40 V dtatyanac@mail.ru Другие публикации этого автора     Аюшеев Тумэн Владимирович доктор технических наук доцент, кафедра Инженерная и компьютерная графика, Восточно – Сибирский государственный университет технологии и управления 670013, Россия, республика Бурятия, г. Улан-Удэ, ул. Ключевская, 40В, оф. 731 Ayusheev Tumen Vladimirovich Doctor of Technical Science Associate Professor, Department of Engineering and Computer Graphics, East Siberian State University of Technology and Management 670013, Russia, respublika Buryatiya, g. Ulan-Ude, ul. Klyuchevskaya, 40V, of. 731 atv62@bk.ru Бальжинимаева Светлана Михайловна аспирант, кафедра Инженерная и компьютерная графика, Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления 670013, Россия, республика Бурятия, г. Улан-Удэ, ул. Ключевская, 40В, оф. 731 Balzhinimaeva Svetlana Mikhailovna Postgraduate Student, Department of Engineering and Computer Graphics, East Siberian State University of Technology and Management 670013, Russia, respublika Buryatiya, g. Ulan-Ude, ul. Klyuchevskaya, 40V, of. 731 ikg.esstu@bk.ru

Абатнин Александр Андреевич студент, кафедра Инженерная и компьютерная графика, Восточно-Сибирский государственный университет технологий и управления 670013, Россия, республика Бурятия, г. Улан-Удэ, ул. Ключевская, 40В, оф. 731 Abatnin Aleksandr Andreevich Student, Department of Engineering and Computer Graphics, East Siberian State University of Technology and Management 670013, Russia, respublika Buryatiya, g. Ulan-Ude, ul. Klyuchevskaya, 40V, of. 731 abatnin@mail.ru

Введение

Увеличение объема данных изображений с высоким разрешением требует разработки алгоритмов, способных обрабатывать изображения большого размера с уменьшением вычислительных затрат. Многие однозначные методы твердотельного представления пористых сред на основе изображений, такие как примитивное создание экземпляров, декомпозиция ячеек, конструктивная твердотельная геометрия, представление с помощью фрактальной геометрии, имеют ограничение, заключающееся в том, что они не предлагают способов представления внутреннего поведения.

Представление считается однозначным, когда оно соответствует одному и только одному объекту в пространстве объектов. Разработанные методы^[1-4] подходят для многих приложений моделирования и проектирования, но в основном предполагают внутреннюю однородность модели как в составе объектов, так и в структуре самого тела. Более сложные физические модели, для которых необходимы скалярные, векторные и тензорные физические поля, повышают потребность в моделировании как формы, так и распределения полей как начальных или граничных условий моделирования.

В данной статье рассмотрен подход к описанию параметрических тел со сферическими порами с помощью линейных базисных функций. Доступные цифровые данные о геометрии пор образца конвертируется непосредственно в геометрию тел, состоящих из порций кубической формы. Для демонстрации внутреннего моделирования используются параметрические пористые тела ^[5-9]. Данный тип параметрических пористых тел используется в качестве начальных или граничных условий в численном моделировании. При формировании объектов сложной формы параметрические твердотельные элементы могут быть соединены вместе.

Много исследований посвящено реконструкции геометрической структуры пористых материалов на основе цифровых изображений объектов для лучшего понимания и представления физических процессов в пористой среде ^[10-15]. Детальное понимание микроструктуры может быть использовано для определения физических свойств, а затем для оценки и улучшения характеристик моделируемых объектов и процессов в них. Также данные исследования обусловлены развитием 3D-печати с целью оптимизации печатаемых объектов, повышения их прочности или определения и изменения других свойств модели. При геометрическом моделировании сложных объектов используются булевы операции объединения, вычитания и пересечения ^{[16, 17]}.

Постановка задачи

Пусть в трехмерном пространстве R3 задан произвольный криволинейный каркас тела со сферическими порами, который определяет форму твердотельного кубического элемента, или порцию моделируемого объекта (рис. 1). Допустим, что параметры u, v и w изменяются в пределах от 0 до 1 вдоль соответствующих границ порции тела. Тогда вектор-функция представляет собой внутренность порции тела, представляют шесть известные граничные поверхности. Ставится задача: построить вектор-функцию которая при или представляют нужную граничную поверхность.

Рисунок 1. Порция тела со сферическими порами

Порция сплошного тела с граничными поверхностями Кунса

Рассмотрим сначала задачу построения уравнения порции сплошного тела без сферических пор. Используя метод порций Кунса, можно обобщить и построить уравнение порции параметрического тела:

(1)

где

где u, v, w Î ^[0,1], - вектор-столбец.

В уравнении (1) является трилинейной интерполяцией восьми точек . Вектор-функция r1(u,v,w) представляет собой билинейную интерполяцию между парами совместимых граничных кривых. - это линейная интерполяция между парами противоположных порций граничных поверхностей.

При построении граничной кривой порции тела будем использовать кубическую интерполяционную функцию Эрмита. С ее помощью сегмент параметрически заданной кривой можно представить через положение его концевых точек, а также через значения касательных в них. Тогда уравнения для граничных кривых и поперечных градиентов будут иметь вид:

(2)

где α0, α1, β0, β1 - многочлены Эрмита.

Граничные поверхности тела будут описываться следующими уравнениями:

(3)

где u, v, w Î ^[0,1],

Порция тела со сферическими порами

Теперь можно перейти к решению задачи построения сферической поры внутри порции тела.

Уравнение поверхности сферы в системе декартовых координат определяется как:

(4)

где x0, y0,z0 – координаты центра сферы, R – радиус сферы.

Формулу (4) можно использовать для задания сферической поры, если она не меняет своего положения и размеров при деформации (растяжения или сжатия) тела относительно декартовой системы координат.

В этом случае порция тела со сферическими порами определяется

(5)

где

- декартовы координаты и радиусы сферических пор.

Для наших целей необходимо задание сферической поры в системе криволинейных координат тела

(6)

где u0, v0, w0, – криволинейные координаты центра сферической поры. В этом случае сферическая пора будет также меняться при изменении положения и формы тела.

В первом случае порция тела со сферическими порами определяется

(7)

где

- декартовы координаты и радиусы сферических пор.

Во втором случае порция тела определяется

(8)

где

- криволинейные координаты и радиусы сферических пор.

Результаты

Был проведен вычислительный эксперимент с полученной моделью порции пористого тела в среде MathCAD. При построении порции тела в форме куба были заданы следующие координаты угловых точек: P000(0,0,0), P100(70,0,0), P010(0,70,0), P110(70,70,0), P001(0,0,70), P101(70,0,70), P011(0,70,70), P111(70,70,70). Внутри куба была задана сфера с радиусом 15 мм в точке (35,35,35) (рис. 3). Поверхности внутреннего пространства куба строились при значении параметра g равными 0, 18, 35, 53, 70. На рис. 3 и 4 показана поверхность g равным 35 мм. Далее были изменены координаты угловых точек куба: P000(0,0,0), P100(70,10,0), P010(0,65,0), P110(50,70,0), P001(0,0,70), P101(50,0,70), P011(10,80,60), P111(50,75,45) (рис. 4). Поверхность сферической поры задавалась уравнением в параметрической форме:

При задании порции тела в форме куба отверстие на промежуточной поверхности имеет форму окружности (рис. 2). При изменении положения угловых точек куба промежуточные поверхности преобразуются в форму гиперболического параболоида, а отверстия в форму овала (рис. 3).

Рис. 2. Порция пористого тела в форме куба

Рис. 3. Изменение формы куба при перемещении угловых точек порции пористого тела

Для автоматизации 3D-моделирования реальных объектов, имеющих множество сферических пор, на основе цифровой обработки изображений в качестве объекта исследования были получены изображения срезов сыра (рис.4а). Далее были определены положение и размеры пор по слоям (рис.4б).

Затем выполнялась обработка данных в программе, разработанной на языке Python и получен скрипт для САПР OpenSCAD автоматизирующий создание 3D-модели с выполнением булевых операций (рис.5).

Рис.5. 3D-модель тела со сферическими порами.

Заключение

Предложенный метод для моделирования сложных пористых сред составной формы использует порции трехмерного параметрического тела. Непрерывность между элементами определяется аналогично моделированию кубических параметрических сплайнов. Приведенные примеры показывают определение внутренней структуры при изменении формы пористого тела. Его отличительной особенностью является возможность построения внутренних промежуточных сеток при наличии цифровых данных сферических пор внутри составного тела.

Программная реализация этого метода показала, что алгоритмы на его основе характеризуются вычислительной устойчивостью и быстродействием. Это обеспечивает несомненные преимущества в задачах визуализации, при геометрическом моделировании различных конструкций со сферическими порами в условиях свободной деформации.