Гносеологическое исследование геометрического (по происхождению) метода анализа и синтеза

Левин Георгий Дмитриевич доктор философских наук ведущий научный сотрудник, Институт философии РАН 117534, Россия, г. Москва, ул. Чертановская, 47, корп. 2, кв. 45 Levin Georgii Dmitrievich Doctor of Philosophy Leading Scientific Associate, Institute of Philosophy of the Russian Academy of Sciences 117534, Russia, g. Moscow, ul. Chertanovskaya, 47, korp. 2, kv. 45 g.d.levin@mail.ru

1. 1. РГНФ. 1997 – 1999. 95-06-17840а. Анализ и синтез в истории науки и в современном научном познании. Рук. 2. РГНФ. 1999 – 2001. 99 – 03 – 19633а Проблема универсалий. Р3. РФФИ. 2001 – 2003. № 01-06-80205а. Теория диалога. Рук.4. РГНФ. 2003 – 2005. № 03-0300638а. Философские категории. Рук.5. РГНФ 2004. № 04-03-1608д. Издание монографии: Левин Г.Д. Проблема универсалий. Современный взгляд М. 2005.6. РГНФ. 2004 – 2006. 04-03-00093а Теоретическое знание, понимание и мифотворчество. Исп.7. РГНФ. 2006 – 2008. № 06-03-00325а. Истинность и рациональность. Рук.8. РГНФ. 07-03-1645Д. Издание монографии: Г.Д. Левин. Философские категории в современном дискурсе.9. РФФИ. 2007 – 2009. 07-06-00476. Релятивизм в современной науке.

Постановка проблемы. Анализ традиционно определяют как реальное или мысленное разложение исследуемого объекта на компоненты [[1],с.97], а синтез - как реальное или мысленное объединение этих компонентов в целое [[2], с. 546]. Такое их понимание называют классическим. В геометрии же анализом называют поиск посылок доказательства теоремы на основе содержания самой теоремы, а синтезом - доказательство этой теоремы на основе найденных посылок [ [3], с. 33]. Естественно возникает вопрос: как соотносятся эти две пары познавательных процессов? Это виды одного рода или процессы, лишь случайно обозначенные одними и теми же терминами? Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо предварительно ответить на два других: 1)что такое классические анализ и синтез? и 2) что такое геометрические анализ и синтез? Первый вопрос я рассмотрел в другой работе [[4]]. Здесь будет рассмотрен второй.

Математическое описание геометрических анализа и синтеза находится на высоком профессиональном уровне. Задача заключается в том, чтобы поднять на этот уровень и их гносеологическое исследование. Для этого придется привлекать хотя и элементарную, но чисто геометрическую информацию.

Двуединый процесс геометрических анализа и синтеза совершается на основе двуединого метода геометрических анализа и синтеза. Но поскольку доминирующую роль в нем играет метод анализа, постольку весь метод часто называют методом геометрического анализа. Именно так он обозначается, например, в длинном названии прекрасной книги Я. Хинтикки и У. Ремеза: «Метод анализа, его геометрическое происхождение и всеобщее значение». Там, где это не приведет к путанице, я тоже буду пользоваться этим сокращением.

Процесс геометрического синтеза - доказательство теоремы на основе найденных посылок - известен каждому со школьных времен. Но в школьных учениках ничего не говорится о том, как были найдены эти посылки, другими словами, что представляет собой геометрический анализ. А это главная часть процесса доказательства теоремы. О ней в основном и пойдет речь.

Немного истории. Метод геометрического анализа использовался еще в античности. Известный историк математики Г. Ханкель считает, что его открыл Платон. Вот его аргумент: «Только такой дух, как платоновский, мог понять аналитический метод в соответствии с его великим значением» [[5], S. 147-148]. Однако большинство современных исследователей полагает, что «Платон не ввел метод анализа»[[6], p. 44]. Он использовался в геометрии и до него. Отсутствовало его развернутое описание, но его нет и в произведениях Платона. Там, прежде всего в «Государстве», содержатся лишь разрозненные замечания на этот счет.

Некоторое время историки математики полагали, что описание этого метода дал Евклид. Имелось в виду доказательство первых пяти предложений книги XIII «Начал» сначала аналитическим, а потом синтетическим методом. Но потом было установлено, что это интерполяция. Подозревали даже, что Евклид знал, но скрыл метод нахождения посылок доказательства теорем.

Разрозненные высказывания об этом методе появлялись и после Евклида, вплоть до III века. Р. Робинсон приводит 8 таких высказываний [[7]]. И лишь в III веке выдающийся греческий математик Папп Александрийский дал его развернутое описание. Именно поэтому этот метод называют методом Паппа, или папповой эвристикой. Греческий оригинал текста Паппа и его перевод на английский язык содержатся в уже упомянутой книге Хинтикки и Ремеза. Там же осуществлен и его тщательный методологический анализ.

В Средние века метод Паппа был забыт, в Новое время о нем писали Декарт, Лейбниц и Кант, однако их «усилия применить паппову эвристику к новой науке оказались тщетными»[[8], с. 90]. И интерес к ней угас вплоть до конца XIX века, до публикации книги Г. Ханкеля «К истории математики в древности и в средневековье» [[9]], породившей целую серию историко-научных исследований этого метода. Лучшими из них, на мой взгляд, являются уже упомянутая книга Я. Хинтикки и У. Ремеза и книга И. Лакатоса «Доказательства и опровержения»[[10]] вместе с главой «Метод анализа-синтеза» в его посмертно изданной книге «Математика, наука и эпистемология»[[11]]. Прекрасное современное изложение метода Паппа дает Д. Пойа [[12], с.132-138]. В отечественной литературе о нем писали, в частности, Р.К. Луканин [[13]], Т.Г.Лешкевич [[14]] и В.А.Смирнов[[15]]. Могу назвать и свою статью [[16]]. Здесь я продолжаю начатую в ней работу.

«Секрет» метода геометрического анализа. В геометрии, как и в любом теоретическом исследовании, последовательно решается пять задач: 1) открывается проблема; 2) для ее решения создается гипотеза; 3) из этой гипотезы делаются логические выводы; 4) эти выводы сопоставляются с действительностью; 5) из их ложности делается вывод о ложности гипотезы, а из истинности (при определенных условиях) - вывод о ее истинности.

Чтобы применение метода Паппа стало возможно, первые две из этих пяти задач должны быть уже решены. Это принципиально. Третья и четвертая задачи решаются в процессе геометрического анализа, пятая - в процессе геометрического синтеза. Бывает, впрочем, и так, что истинность гипотезы очевидна. Тогда последние три этапа исследования не используются. Но это вырожденный случай. Чем фундаментальнее геометрическая проблема, тем более важную роль в ее решении играет метод геометрических анализа и синтеза.

Но его, в сущности, лишь условно можно назвать методом, больше подходит термин «эвристика». Весь смысл, или, как говорят Хинтика и Ремез, «секрет» этого метода «состоит в том, чтобы использовать структуру доказываемой теоремы для поиска ее доказательства» [[17], p. 33]. Здесь, таким образом, указываются лишь исходный пункт и цель поиска. Сам поиск - творческий процесс, сравнимый по трудности с процессом открытия теоремы.

Дедуктивный характер геометрии накладывает существенное ограничение на задачу геометрического анализа: посылки доказательства новой теоремы нужно искать в уже существующем содержании геометрии. Привлечение аргументов «со стороны» исключается. И даже если их в уже существующем содержании геометрии еще нет, их нужно вывести именно из этого содержания.

Начальный вариант метода Паппа. Различают три варианта метода геометрических анализа и синтеза, или метода Паппа. Самый простой и исторически первый заключается в том, что посылки доказательства теоремы ищут в иллюстрирующем ее чертеже. Анализ начинается с того, что предложение-1, содержащее доказываемую теорему, условно принимается за истинное. Затем из него редуцируется также пока лишь условно истинное предложение-2 и так вплоть до предложения-n, истинность или ложность которого устанавливается независимо от предложения-1. Из ложности предложения-n заключают о ложности предложения-1, а из его истинности, при определенных условиях, - вывод о его истинности.

Прекрасная иллюстрация этой простейшей разновидности метода Паппа приведена А. Сабо [[18]]. Берется предложение 1.15 «Начал» Евклида: «Если две прямые линии пересекаются, то они образуют равные вертикальные углы».

Пусть вертикальными будут углы aиb, а также gиd. Нужно доказать, что a = b(1), и g = d (2). Первый шаг геометрического анализа - условное принятие этих двух равенств за истинные. Второй шаг - применение к ним аксиомы 2 "Начал": "Если к равному прибавить равное, суммы будут равны". В результате возникают два пока также лишь условно истинных равенства: a + g = b + g(3)и g + b = d+b. (4).

Истинны ли они? Для утвердительного ответа достаточно осознать, что в обоих предложениях речь идет о равенстве развернутых углов. Итак, истинность равенств (3) и (4), логически выведенных из условно истинных равенств (1) и (2), установлена независимо от них. Аналитический этап доказательства предложения 1.15 завершен. Можно переходить к синтезу, к выведению из равенств (3) и (4) равенств (1) и (2).

И здесь обнаруживается логическая трудность. Из истинности консеквента импликации истинность ее антецедента в общем случае не следует. Она имеет место лишь в случае эквиваленции, т.е. двусторонней, обратимой импликации, когда из aследует b и из bследуетa. В данном случае имеет место именно она: из истинности «a = b» следует истинность «a + g = b + g» и наоборот, а из истинности «g = d» - истинность «g + b = d + b» и наоборот. Закончен синтетический этап исследования. Теорема доказана и включена в систему евклидовой геометрии.

Второй вариант метода Паппа - метод вспомогательных преобразований. Но не все геометрические теоремы можно доказать, просто разглядывая готовый чертеж. Пример - предложение 1.32 «Начал» Евклида «Внутренние три угла треугольника <вместе> равны двум прямым». Простой чертеж треугольника позволяет сделать лишь первый шаг к доказательству предложения 1.32 - условно принять его за истинное. Дедуцировать из него цепочку условно истинных предложений, последнее из которых было бы доказано независимо от предложения 1.32, чертеж «чистого» треугольника не позволяет.

Поэтому настоящей революцией в истории геометрии было открытие способа решать такие задачи с помощью вспомогательных преобразований: либо достраивания геометрической фигуры, либо наоборот, деля их на части. В данном случае используется достраивание. Вот как его осуществил Евклид. «Пусть треугольник будет АВС, продолжим его сторону ВС до D. Проведем через точку С прямую СЕ, параллельную АВ»

Теперь путь к посылкам доказательства предложения 1.32 открыт. Сначала из него выводится также пока лишь условно истинное предложение «Угол BCD равен двум прямым». Для его выведения предварительно доказывается, что этот угол равен сумме внутренних углов треугольника АВС. Вот как это делается. Углы ВАС и АСЕ равны как накрест лежащие (Предложение 29). Угол DСЕ равен углу ABC как внешний внутреннему противолежащему (предложение 29). Угол ACB у них общий. Следовательно, сумма внутренних углов треугольника АВС равна углу BCD. И если она равна двум прямым, то и угол BCD равен двум прямым. Теперь условно истинное предложение «Угол BCD равен двум прямым» нужно доказать независимо от предложения 1.32. Евклид делает это на основе предложения 1.13 «Начал»: «Если прямая, восставленная на прямой, образует углы, то она будет образовывать или два прямых или вместе равные двум прямым» ^[19]. с. 144]. Аналитический этап доказательства закончен. Синтетический элементарен: из равенства угла BCD двум прямым и равенства его сумме внутренних углов треугольника ABC следует равенство двум прямым углам суммы и внутренних углов треугольника ABC. Предложение 1.32 доказано методом анализа и синтеза с использованием вспомогательных построений.

Но здесь открывается новая трудность, ставящая под сомнение метод Паппа в обеих его ипостасях.

Парадокс Милля. Доказательство предложения 1.32 осуществлено на единственном треугольнике, а его вывод распространен на все треугольники. По какому праву? Чем это умозаключение отличается от такого, например: я достаю из урны единственный черный шар и заявляю, что все шары в урне черные? Тем не менее, первое умозаключение верно, а второе - ошибка поспешного обобщения. Это и есть парадокс Милля. Вот как его формулирует сам Милль: «Почему в иных случаях единичного примера достаточно для полной индукции, тогда как в других даже мириады согласных между собой примеров, при отсутствии хотя бы одного исключения, известного или предполагаемого, так мало дают для установления общего предложения?» [[20], с. 251].

Решение парадокса Милля сегодня видят в том, что доказательство геометрической теоремы ведется на единственном, но не на единичном, а на общем примере, точнее, общем предмете. «Общий предмет» - фундаментальное гносеологическое понятие. Я детально проанализировал его в другой работе [[21], с.99 - 104]. Здесь изложу главное.

Общий предмет возникает из класса единичных предметов, например, конкретных треугольников, в результате трех операций. Сначала абстрагируются от всех признаков этих предметов за исключением тех, в которых они сходны. Затем отношения сходства между ними (отношения «такой же») заменяют на отношения тождества (отношения «тот же»). В результате этой операции конечный или бесконечный класс сходных предметов «склеивается» или, лучше сказать, «сжимается» в один общий предмет, в нашем случае - в треугольник вообще. На третьем шаге этот общий предмет экземплифицируется в реальном предмете, например, в том, на котором сам Евклид доказывал свое предложение 1.32. Именно потому, что в единственном треугольнике, на котором доказывается это предложение, принимаются во внимание только те признаки, которые присущи всем треугольникам, это предложение в дополнительном доказательстве его всеобщности не нуждается. Но здесь возникает реальная опасность спутать единственный общий предмет с единственным единичным. Этого спутывания, как можно показать, не избежал и Д. Ст. Милль

Контрпримеры. Однако убеждение, что всеобщность теорем геометрии, в отличие от всеобщности эмпирических утверждений, можно доказать на единственном примере, было опровергнуто обнаружением контрпримеров теоремам, уже доказанным на общем примере. Именно такой случай блестяще исследует И. Лакатос в своей книге «Доказательства и опровержения» на истории стереометрической теоремы, сформулированной в 1750 году Л. Эйлером, согласно которой в любом многограннике соотношение числа вершин В ребер Р и граней Г. выражается формулой В - Р + Г = 2. Эту теорему О. Коши в 1811 году доказал на единственном общем многограннике - так же, как Евклид доказал предложение 1.32 на единственном общем треугольнике. Вот как это было сделано.

Эмпирически, простым пересчетом вершин, рёбер и граней всех известных тогда многогранников теорема Эйлера была подтверждена [[22], гл. 3]. Задача заключалась в том, чтобы доказать ее теоретически, на единственном общем многограннике. Коши начал традиционно - с условного принятия теоремы Эйлера за истинную. Затем он взял конкретный многогранник, куб, и превратил его в многогранник вообще, абстрагировавшись от всех его признаков, кроме тех, в которых он сходен со всеми многогранниками без исключения. Но доказать теорему Эйлера, просто разглядывая новоявленный многогранник вообще, невозможно. Нужны вспомогательные преобразования, которые в данном случае заключались не в достраивании куба, а, наоборот, в разложении его на составляющие. Опишу эти действия Коши предельно упрощенно, сохраняя лишь то, что важно для их гносеологического анализа.

Примем, что куб полый. Вырежем его верхнюю грань. Количество граней уменьшится на одну, поэтому для вновь возникшей фигуры условно истинная формула-1 Эйлера В - Р + Г = 2 превратится в условно истинную формулу-2: В - Р + Г = 1. Проведем диагонали в оставшихся гранях и будем считать стороны возникших треугольников ребрами Р, замкнутые ими плоскости - гранями Г, а углы - вершинами В. Можно показать, что формула-1 будет условно верна и для этой триангулированной фигуры. Теперь начнем вырезать из нее один треугольник за другим. Можно снова показать, что соотношение вершин, ребер и граней при этом не изменится, и формула В - Р + Г = 1 будет оставаться условно истинной вплоть до тех пор, когда останется единственный треугольник. Для него эта формула истинна уже не условно, а реально. Цель анализа достигнута: из формулы Эйлера выведена формула, истинность которой установлена независимо от нее.

Синтетический этап доказательства заключается в поэтапном возвращении вырезанных треугольников на свои места. Формула-1 для каждой вновь возникшей фигуры будет уже доказанной. Последней на свое место возвращается вырезанная первой целая грань куба, в результате чего доказанная формула-1 превращается в доказанную формулу Эйлера: В - Р + Г = 2. Закончен синтетический этап доказательства. Теорема Эйлера объявляется доказанной.

Однако торжество длилось недолго. Были обнаружены многогранники, не соответствующие формуле Эйлера. Их стали называть неэйлеровыми. Вот один из них. Возьмем длинный треугольный стержень. Он эйлеров: В - 6:, Р - 9, Г - 5. Разрежем его на четыре равные части и соединим их в рамообразный многогранник. У такого многогранника В = 12, Р = 24, Г = 12, следовательно, В - Р + Г = 0. Позднее были обнаружены и другие контрпримеры теореме Эйлера. Психологически они воспринимались примерно так же, как воспринимались бы контрпримеры уже доказанной Евклидом теореме о сумме внутренних углов треугольника. Из этих контрпримеров следовало, что, вопреки мнению Милля, единственного примера для полной индукции недостаточно никогда. Разница между выводом, что все шары в урне черные, и выводом Коши, что все многогранники эйлеровы, лишь в том, что первое утверждение опровергается единственным единичным, а второе - единственным общим примером. А это значит, что от несовершенства неполной индукции общие предметы не избавляют, поэтому и сам метод Паппа не является средством получения необходимого и безусловно всеобщего, т.е. теоретического знания.

Третий вариант метода Паппа. Дьявол прячется в деталях. Но в деталях прячется и спасение от него. «Деталь», позволяющая «спасти» метод Паппа в конкретном случае с теоремой Эйлера, - особый характер множества многогранников. Между подмножествами этого множества, или, что не меняет сути дела, между «склеенными» из них общими предметами - кубами вообще, пирамидами вообще и т.д., существуют не только отношения сходства и несходства, но и отношения зависимости, т.е. связи. В этом легко убедиться, сопоставив эйлеров трехгранный стержень с неэйлеровой рамой. Рама синтезирована из стержней, т.е. контрпример синтезирован из примеров. Это значит, что между примером и контрпримером существует генетическая связь. Примеры - это предки контрпримеров, а контрпримеры - их потомки.

Множества, подмножества которых соединены не только сходствами и несходствами, но и генетическими связями, называют генетическими и отличают от аддитивных множеств, между подмножествами которых существуют только отношения сходства и несходства. Соответственно, на аддитивные и генетические делятся и множества общих предметов, «склеенных» из этих подмножеств.

Генетические множества, наряду с аддитивными, входят в предметы практически всех наук, и закономерности их формирования в своей сущности одинаковы. Рассмотрим их на блестяще проанализированном Р. Фейнманом примере формирования генетического множества чисел [[23], с.51]. В качестве предка-основателя этого множества выступает целое положительное, т.е. натуральное число, а в качестве порождающих процедур - алгебраические операции: сначала с натуральными числами, а затем - с результатами этих операций. Сложение натуральных чисел всегда дает натуральное число, а вот вычитание может породить и целое отрицательное число. Деление одного целого положительного или отрицательного числа на другое порождает дробь. Множества натуральных чисел и дробей образует множество рациональных чисел. В процессе деления одного числа на другое обнаруживается несоизмеримость делимого и делителя, в итоге возникает иррациональное число. На каком-то этапе этого приложения алгебраических операций к различным подклассам чисел пытаются извлечь квадратный корень из минус единицы. Результат этой операции называют мнимой единицей, произведение рационального или иррационального числа на мнимую единицу - мнимым числом, а любое число, включающее мнимое, - комплексным числом. Казалось бы, этому порождению одних чисел другими не будет конца. Однако с возникновением комплексного числа процесс формирования множества чисел закончен. Теперь результат любой алгебраической операции с любым числом окажется элементом этого генетического множества чисел. Благодаря этому математики получают возможность говорить о числе вообще, не опасаясь ошибки поспешного обобщения. Следует, однако, заметить, что на выявление всех элементов множества чисел и установление генетических связей между ними ушло несколько тысячелетий.

Но вернемся к формуле Эйлера. Понимание сущности генетических множеств и обнаружение генетической природы множества многогранников позволяет создать не подверженную опасностям неполной индукции формулу, характеризующую соотношение вершин, ребер граней любого многогранника. Все дело в том, что прослеживание генетических связей между подмножествами позволяет точно так же гарантированно описать все их множество, как и прослеживание генетических связей между числами - все множество чисел. Но если на решение последней задачи ушло больше двух тысячелетий, то на решение первой, как показывает И. Лакатос, лишь один XIX век. Автор на реальной истории математики детально прослеживает этот процесс. В качестве предка - основателя рода многогранников здесь выступает эйлеров многогранник, в качестве порождающей процедуры - конструирование из него более сложных многогранников, из них - еще более сложных и т.д. И в итоге выявляется все множество многогранников. Аналогия с генезисом множества чисел полная. К сожалению, здесь нет возможности воспроизвести проделанную Лакатосом громадную работу.

Итак, различение аддитивных и генетических множеств открывает третий вариант метода Паппа. Благодаря работам Д. Пойа и И. Лакатоса я проиллюстрировал его функционирование только на одном примере. Но это парадигмальный пример.

Метод Паппа и экспериментальный метод. Чтобы выяснить отношении метода геометрических анализа и синтеза к методу классических анализа и синтеза, нужно предварительно выяснить его отношение к экспериментальному методу конкретных наук, например, механики.

Как уже подчеркивалось, из пяти задач любого теоретического исследования первые две - постановка проблемы и рождение гипотезы - в задачу геометрических анализа и синтеза не входят. В них решаются лишь три оставшиеся задачи - поиск посылок доказательства теоремы на основе ее содержания, испытание этих посылок на истинность и доказательство теоремы на основе доказанных посылок.

А входит ли решение первых двух задач в «обязанности» естественнонаучного эксперимента? Ответы на этот вопрос не делятся на истинные и ложные. Критерий выбора между ними - соответствие историческим традициям и целям исследования. На основании этих двух критериев я трактую конкретнонаучный эксперимент как решающий те же три задачи, что и двуединый процесс геометрических анализа и синтеза. В этом заключается их родовое сходство, на фоне которого выступают видовые различия между ними.

Их два. Во-первых, методом геометрических анализа и синтеза посылки доказательства теоретической гипотезы (теоремы) не создаются, а лишь обнаруживаются в уже созданном содержании геометрии. Этим обеспечивается ее дедуктивный характер. В конкретных же науках посылки доказательства теоретических гипотез ищутся и в еще не познанном содержании исследуемого предмета. Во-вторых, практические преобразования исследуемого предмета в геометрии осуществляются лишь для того, чтобы приблизиться к уже существующим посылкам доказательства, в конкретных же науках - и для того, чтобы создать их.

Но метод Паппа и экспериментальный метод связаны не только родовым сходством. Между ними существует и генетическая связь. Метод геометрических анализа и синтеза возник в математике еще до Платона, и именно он сделал геометрию не просто наукой, а теоретической наукой. Естественнонаучный эксперимент возник лишь в XVI веке в механике, в экспериментах Галилея, и именно Галилея считают основателем науки Нового времени. Но он возник не сам по себе, не независимо от метода геометрических анализа и синтеза, а как его продолжение и развитие. Эту выдающуюся мысль Хинтикка и Ремез приписывают Ньютону: «Ньютоновская концепция экспериментального метода как вида анализа есть продукт идеи анализа как анализа фигур или, более обобщенно, геометрических конфигураций»[[24], p. 106].

Родовое сходство метода Паппа и экспериментального метода, а также и генетическая связь между ними позволяет рассматривать их как две разновидности единого гипотетико-дедуктивного метода. Термин «гипотетико-дедуктивный метод» используется сегодня в нескольких значениях, но для разработки целостной теории анализа и синтеза его удобно использовать его в качестве родового по отношению к терминам «метод геометрических анализа и синтеза» и «экспериментальный метод».

Эмпирические и теоретические объекты. Трактовка экспериментального метода и метода геометрических анализа и синтеза как двух разновидностей гипотетико-дедуктивного метода позволяет сформулировать общую для них проблему, над которой размышлял еще Платон. Когда математики, писал он, «пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертеж, а на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы они делают только для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили»[[25], 510d]. (Видимо, имеется в виду следующая теорема: если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то его противолежащие стороны попарно параллельны).

Возникает естественный вопрос: если теорема относится к «четырёхугольнику самому по себе», находящемуся на платоновском небе, или, что не меняет сути дела, в виртуальном мире теоретических объектов, а ее доказательство осуществляется на четырёхугольнике, существующем в реальном пространстве-времени, то по какому праву мы относим результаты этого доказательства к этому четырехугольнику? И обратный вопрос: какое значение описание идеального четырехугольника имеет для практических действий с реальными четырехугольниками? Эти же вопросы стояли и перед Галилеем в его знаменитых опытах с шарами.

Чтобы начать движение к ответу на этот вопрос, необходимо осознать, что разница между внутренним содержанием реального и внутренним содержанием идеального, теоретического, платоновского предмета предельно элементарна. Увидеть это позволяет аналогия в платоновском духе. Представим себе мир, в котором изначально существуют только платоновские, теоретические сущности: идеальные четырехугольники, образцы меди, состоящие только из атомов меди, движущиеся тела, не испытывающие сопротивления среды и т.д. Затем на них извне начинают оказываться воздействия, в результате чего стороны четырёхугольника деформируются, в меди появляются примеси, движение тел начинает тормозиться. Именно этот «смешанный» мир и предстает перед познающим субъектом.

Эта умозрительная картина позволяет увидеть принципиальную возможность для ответа на вопрос, по какому праву знание, полученное при исследовании реальных объектов, относят к идеальным, теоретическим объектам. Чтобы получить это право, достаточно выполнить очень простое условие: устранить из реальных смешанных объектов примеси и искажения, внесенные извне, выделить их в чистом виде, вернуть к «первозданному» состоянию. Эту процедуру называют выделением предмета в чистом виде, идеализацией и абсолютизацией.

В реальном процессе научного исследования она совершается в два этапа. На первом искажающие и затемняющие факторы устраняются из исследуемого объекта реально: из меди удаляются примеси, плоскость, на которой изображен квадрат, избавляется от вмятин и выпуклостей, а стороны квадрата - от кривых и ломаных участков, движущееся тело - от сопротивления среды. Если бы эти процессы удалось довести до конца в реальном пространстве-времени, разница между эмпирическими и теоретическими объектами исчезла бы, а деление знаний на эмпирические и теоретические утратило бы смысл. Но нельзя реально создать идеальную плоскость, нельзя, по крайней мере современными средствами, удалить из реального образца меди все атомы немеди, а избавление движущегося тела от сопротивления среды вообще исключается одним из самых фундаментальных законов природы, законом возрастания энтропии.

И когда все, что можно сделать для реального выделения предмета в чистом виде сделано, начинается второй, самый главный и самый проблемный этап идеализации: работа, не доделанная в реальности, доделывается в воображении. Так возникают идеальные квадраты, абсолютно чистые химические вещества, движения без трения и т.д.

Принципиально важно видеть, что идеализация является условием применения обеих разновидностей гипотетико-дедуктивного метода: и метода Паппа в геометрии, и экспериментального метода в конкретных науках. В геометрии идеализация возникла одновременно с геометрией, а в естественные науки ее ввел Галилей, и потому ее называют галилеевской идеализацией [[26]], а Галилея - основателем науки Нового времени. Затем идеализация была перенесена в другие науки. Но это было уже развитием галилеевской революции.

Сказанного о сути метода геометрических анализа и синтеза и о его отношении к экспериментальному методу достаточно, чтобы обсудить вопрос, поставленный в самом начале статьи:

Как геометрические анализ и синтез относятся к классическим? После того как метод геометрических анализа и синтеза и экспериментальный метод были истолкованы как две разновидности гипотетико-дедуктивного метода, этот вопрос можно сформулировать в более общей форме: как гипотетико-дедуктивный метод относится к методу классических анализа и синтеза? Ответ заключается в том, что они соотносятся как виды одного рода, точнее даже двух родов.

Можно показать, что эти два метода являются разновидностями двуединого метода анализа и синтеза, о котором писал Декарт, а затем, с некоторыми уточнениями, и Лейбниц.

Анализом Декарт называет движение от труднопознаваемого к легкопознаваемому, а синтезом - движение в обратном направлении. Именно поэтому на этапе анализа он рекомендует «делить каждую из рассматриваемых трудностей на столько частей, сколько потребуется, чтобы лучше их разрешить», а на этапе синтеза - «располагать свои мысли в определенном порядке, начиная с предметов простейших и легкопознаваемых, и восходить мало-помалу, как по ступеням, до познания наиболее сложных» [[27], с. 260]. Легко убедиться, что под такое понимание двуединого метода анализа и синтеза подходят и метод классических анализа и синтеза, и гипотетико-дедуктивный метод. Ведь части проще целого, а посылки доказательства теоремы обычно проще, чем сама теорема. Переход от целого к частям и от гипотезы к посылкам ее доказательства - это движение от труднопознаваемого к легкопознаваемому, а переход от частей к целому и от посылок доказательства к теореме - это движение от легкопознаваемого к труднопознаваемому.

Несмотря на предельную простоту, декартовское понимание метода анализа и синтеза весьма эвристично, а истолкование гипотетико-дедуктивного метода и классического метода анализа как его разновидностей вносит существенный вклад в понимание роли этих двух методов в целостном процессе познания.

И анализ в классическом смысле, и аналитический этап гипотетико-дедуктивного исследования можно представить как две разновидности анализа, который в современной литературе называют регрессивным. Его называют также движением от конца к началу, или работой назад (working bakward) [[28], с. 155].

И синтез в классическом смысле, и синтетический этап гипотетико-дедуктивного исследования можно представить как две разновидности синтеза, понимаемый как движение от начала к концу, или работа вперед (working forward). В противоположность регрессивному анализу его естественно назвать прогрессивным синтезом, но этот термин не принят.

Однако при решении этих двух задач возникают некоторые терминологические трудности. Чтобы классический синтез представить как движение от начала к концу, т.е. как вид «прогрессивного синтеза», достаточно началом назвать знание о частях целого, а концом - знание о целом. Но если, употребляя термины «начало» и «конец» в тех же смыслах, попытаться представить классический анализ как движение от конца к началу, то возникает явная нелепость. Получается, что классический анализ - это движение от уже готового знания о целом к уже существующему знанию о частях.

Никаких проблем не возникает и при трактовке геометрического синтеза как движения от начала к концу, если начало понимать как знание о посылках, а конец - как знание о теореме вместе с ее доказательством. Но нелепость возникает, если точно так же понимать начало и конец при истолковании геометрического анализа как движения от конца к началу.

Эти трудности можно устранить за счет следующей несколько искусственной терминологической конвенции. Концом классических анализа и синтеза назвать не готовое знание о целом, а само целое, соответственно, началом - не готовое знание о частях целого, а сами части. Соответственно, концом геометрических анализа и синтеза предлагается назвать не готовое доказательство теоремы, а только саму теорему, соответственно, началом – посылки, существующие в уже созданном содержании геометрии, но еще не найденные.

Геометрический, классический и интерпретативный анализ. Для полноты картины необходимо рассмотреть отношение классических и геометрических анализа и синтеза к еще одной процедуре, которую в современной философии называют анализом, точнее, интерпретативным анализом [[29]]. Интерпретативный анализ применяется только к текстам и понимается как их всестороннее логическое, семантическое или грамматическое исследование. Именно поэтому термины «логический анализ языка» и «логическое исследование языка» в теории интерпретативного анализа фактически употребляются как синонимы. Р. Карнап, например, анализ предложения называет его экспликацией, а У. Куайн - переформулировкой. Именно к интерпретативному анализу относится так называемый парадокс анализа: если анализанс имеет то же значение, что и анализандум, анализ тривиален, если другое - неправилен [[30]].

Синтезу в паре с так понимаемым анализом нет места, и потому в справочных изданиях, излагающих интерпретативное понимание анализа, рядом со статьей «Анализ» нет статьи «Синтез». Отсюда следует, классические анализ и синтез, а также геометрические анализ и синтез в случае, если предметом интерпретативного анализа являются геометрические тексты, входят в него как части в целое.