О вариационном подходе к моделированию средневекового размещения населения (на примере Деревской пятины Новгородской земли конца XV века)

Шпирко Сергей Валерьевич кандидат физико-математических наук, кандидат исторических наук доцент, Российский Государственный Гуманитарный Университет, Историко-Архивный институт 119313, Россия, г. Москва, Ленинский проспект, 88, корп. 3 Shpirko Sergey Associate Professor, Moscow State Historical Archives Institute, Russian State University for the Humanities 119313, Russia, g. Moscow, ul. Leninskii Prospekt, 88 korpus 3, kv. 122 shpirkos@mail.ru Другие публикации этого автора

Введение.

Математическое моделирование находит все большее применение при изучении пространственного размещения населения. Цели подобного моделирования могут состоять в исследовании динамики численности и плотности населения, реконструкции недостающих данных, выявлении факторов, обуславливающих тот или иной характер расселения и оценки их влияния на этот процесс. Исследователи подходят к изучению процесса пространственного размещения как развитию во времени целостной системы, обладающей устойчивостью, самоорганизацией, динамизмом, внутренней логикой. В этой связи интерес представляют классические модели типа теории центральных мест В. Кристаллера ^{[1, С.140-149]}, вероятностные модели ^[2-4], наиболее популярные у исследователей и обсуждаемые в первом разделе настоящей работы.

Несмотря на фундаментальные различия в подходах, обе эти модели исходят из тезиса о равномерности размещения населения на исследуемой территории, что подразумевает ее однородность. Разработанный С.М. Гусейн-Заде вариационный подход к моделированию размещения центров (поселений разного уровня иерархии) направлен на совершенствование имеющихся моделей и связан с максимально возможным применением принципов оптимального управления ^[5]. Основные положения этого подхода обсуждаются во втором разделе статье. В том же разделе рассматривается одна модель одноуровневой иерархии размещения центров, являющаяся развитием вышеописанного подхода. Весь необходимый математический аппарат приводится в Приложении, с которым желающие могут ознакомиться.

Наконец, в третьем разделе приводятся результаты верификации предложенной модели на примере конкретной системы средневекового расселения (конец XV века).

Оптимизационные и вероятностные модели

Оптимизационные модели

В основе использования оптимизационного подхода лежит идея поиска наилучших с точки зрения общества вариантов развития систем и механизмов их реализации. Примером применения такого подхода в изучении систем расселения может служить модель Кристаллера, описывающая размещение третичного сектора экономики (торговли и сферы услуг) ^{[1, C.140-149]}.

Кристаллер представляет поселения как центральные места (центры), предоставляющие услуги в своей зоне сбыта. За основу своей модели Кристаллер берет мельчайшие ячейки расселения, которые распределяются по всей территории равномерно и образуют треугольную сеть. Это предположение обосновывается тем, что совокупность треугольников укладываются плотнее, чем совокупность квадратов ^{[1, C.140-141]}.

Рис.1 Треугольная и квадратная сеть равномерно распределенных точек на плоскости

Далее, чисто логическим путем Кристаллер показывает, что при равномерном распределении поселений зоны сбыта правильной шестиугольной формы обеспечивают минимальное среднее расстояние для поездок покупателей в центр (более детализированное обоснование положений теории Кристаллера дается А. Лëшем исходя из положений микроэкономики спроса (^{[1, c.143]})).

Наличие разного уровня услуг и товаров предполагает иерархию центральных мест (центров). Зона сбыта любого центра обслуживается в части одних товаров самим центром, а в части других – более крупными центрами по соседству.

Наряду с треугольной структурой Кристаллер также полагает, что у каждого центра в непосредственном подчинении находится одно и то же количество (k=7) центров на уровень ниже.

Пример 1. Пусть иерархия центров включает три уровня: деревня – поселок – город и k=7. Тогда в зону сбыта каждой деревни входит 7 поселений (включая саму деревню), в зону сбыта каждого поселка 49 поселений, а города – 343 поселения.

Таким образом, сеть центральных мест покрывает всю заселенную территорию и представляет собой совокупность смежных правильных шестиугольников. Центры каждого шестиугольника являются вершинами шестиугольной решетки более высокой уровня, а ее центры – вершинами решетки еще более высокой иерархии и так до высшей иерархии с единственным центром:

Рис.2 Зоны сбыта по Кристаллеру

В научной литературе модели Кристаллера придается важное значение, хотя многие ее исходные положения являются дискуссионными. Так, эта модель описывает размещение центров в условиях полной однородности территории. Хотя понятно, что подобную однородность можно гарантировать лишь в масштабах, существенно превышающих средние расстояния между центрами. Положение о постоянстве числа низших центров в подчинении у высшего также находится в противоречии с действительностью. Как правило, плотность низших центров, наоборот, повышается вблизи высшего.

Вероятностные модели

Вероятностный подход используется там, где предполагается большой элемент случайности. Пример такого подхода демонстрирует Э. Чедвик при анализе поселенческой структуры Мессении (исторический регион Греции, площадь 3800 кв.км) эпохи бронзы ^[3]. Методика моделирования включала покрытие исследуемого региона случайным образом площадок размером 2X2 км (1109 квадратов) и подсчет числа археологических поселений, попавших на каждую площадку. Получившиеся частоты сравнивались с теоретическими (пуассоновское, отрицательное биномиальное и др. распределения). Для оценки влияния масштаба аналогичная процедура повторялась для площадок размером 4X4 и 6X6 км. Полученные Чедвиком результаты приведены в следующей таблице:

Таблица 1

Распределение числа поселений Мессении эпохи бронзы

Пуассоновская модель исходит из предположения о том, что поселения в пределах изучаемой однородной площадки появляются независимо друг от друга и вероятность их появления зависит лишь от ее размера. Эта ситуация описывается пуассоновским распределением, связываемым с вероятностью редких событий ^[7].

Проверка соответствия эмпирических данных теоретическим производилась с помощью критерия хи-квадрат и критерия Колмогорова-Смирнова. Для минимизации ошибки первого рода (вероятности отклонения верной гипотезы) был взят уровень значимости 0,01.

Проверка гипотезы о пуассоновском характере распределения частот поселений исследуемого региона показала, что пуассоновское распределение соответствует эмпирическим данным для площадок малых размеров, но не подтверждается для площадок больших размеров.

В схожем методологическом ключе выдержана недавняя статья О.Н. Трапезниковой и А.А. Фролова ^[4]. В качестве объекта исследования авторы рассматривают систему сельского расселения двух территорий Деревской пятины Новгородской земли, отраженную в писцовых книгах письма 1495-1496 гг.

Обе территории (Городенский погост и микрорегион Березайского погоста) располагаются в пределах Восточно-Валдайской возвышенности. Причем Городенский погост в плане ландшафта распадается на две части: возвышенную и пониженную с двумя основными реками. По площади первая территория составляет 604 кв.км, а вторая – 104 кв.км. По данным писцовых книг население обеих территорий проживало в малодворных деревнях (1-2 двора), за исключением главного поселения Березайского микрорегиона (95 дворов).

Главной методической проблемой, по мнению авторов, является невозможность точного определения местонахождения большинства поселений (из 381 приводимых в писцовых книгах поселений Городенского погоста удается локализовать лишь 191 поселение). С учетом этого авторы предпринимают вероятностное моделирование, принимая пуассоновскую гипотезу расселения (появления новых и исчезновения старых поселений).

Рис.3 Картосхема Городенского погоста

1- поселения возвышенной части, 2-поселения пониженной части, 3-поселения по схеме Генерального межевания в границах бывшего Городенского погоста, 4-реки, 5-границы частей погоста, 5-озера

Источник: ^{[4, с.48]})

Моделирование включало в себя серию испытаний, каждое из которых состояло в “набрасывании” случайным образом на изучаемой территории площадок малого размера (100 бросаний) и подсчета числа попавших в них селений. Проверка соответствия эмпирического распределения теоретическому осуществлялась с помощью критерия хи-квадрат, результаты которой приведены в следующей таблице:

Таблица 2

Результаты проверки распределения поселений конца XV века на соответствие распределению Пуассона(источник - ^{[4, c.56]})

Как следует из таб.2, гипотеза о пуассоновском распределении в целом не подтверждается для системы расселения Городенского погоста конца XV в. Этот факт авторы объясняют природной неоднородностью территории, наличия в ней повышенной и пониженной частей с различной структурой расселения. Действительно, если брать по отдельности обе части Городенского погоста, то на них пуассоновское распределение подтвердилось для площадок малых размеров. Важным результатом также авторы считают соответствие пуассоновскому распределению системы расселения Березайского микрорегиона и территории бывшего Городенского погоста в XVIII в. Полученные результаты приводят авторов к выводу о том, что структура расселения Валдайской возвышенности формировалась стихийно и с учетом природных особенностей территорий.

На наш взгляд, вывод авторов о пуассоновском, в целом, характере системы расселения Валдайской возвышенности нуждается в существенной корректировке. Как следует из таб.2, пуассоновское распределение для площадок большого размера (радиуса 2250 м. для возвышенной части и радиуса 1500 м. для пониженной) не подтверждается. Аналогичный факт, как мы видели, отмечался Чедвиком при анализе поселенческой структуры Мессении. Таким образом, пуассоновская гипотеза “работает” при анализе небольших поселенческих структур с однородными природными условиями. При переходе к анализу структур более высокого порядка (например, погоста или пятины) приходится руководствоваться иными моделями.

Модель размещения системы центров одноуровневой иерархии

Для совершенствования имеющихся моделей, С.М. Гусейн-Заде был разработан подход, связанный с максимально возможным применением принципов оптимального управления ^[5]. Применение этих принципов предполагает наличие некоторого критерия F, в направлении минимизации (или максимизации) которого будет развиваться система. В нашем случае, как уже указывалось, таких критериев, или тенденций развития системы две. И обе тенденции существенны для модели. При отсутствии одной все население сконцентрировалось бы в одном поселении, являющимся центральным. А при отсутствии другой – все население распределилось бы равномерно по всей изучаемой территории, чего также нет в реальности (см., например, в качестве иллюстрации рис.3).

Для решения этой проблемы Гусейн-Заде использует концепцию оптимума Парето, заимствованную из области математической экономики. Эта концепция описывает ситуацию равновесия, при которой каждому из игроков не выгодно уклоняться от своей стратегии. В противном случае это может привести к ухудшению положения (уменьшению функции прибыли) других игроков, и, как следствие, изменение уже их стратегий ^[8]. В нашем случае роль таких игроков играют вышеназванные тенденции, характеризующиеся функционалами. Под функционалом в вариационном исчислении понимается переменная величина, значения которой определяются выбором одной или нескольких функций ^[9]. Это можно изобразить в виде формулы: F=F[y(x)], где функция y(x) является аргументом функционала F. Роль такого аргумента в модели играет функция плотности населения p(x), заданная в каждой точке двумерной области D. Использование оптимума Парето позволяет выразить оптимальные соотношения параметров системы в количественном виде.

Показателем центростремительной тенденции является суммарное расстояние от населенных пунктов до ближайшего центра по всей территории. Чем меньше значение этого показателя, тем сильнее выражена центростремительная тенденция. Разобьем всю рассматриваемую область на совокупность малых площадок (элементов) dS, внутри которых будем считать плотность постоянной. Тогда нетрудно подсчитать, что численность населения этом элементе задается формулой p(x)dS. Далее, обозначим через r(x) расстояние от точки х до ближайшего центра. Тогда суммарное расстояние от всех точек элемента dS до ближайшего центра составит r(x)p(x)dS, а искомый функционал запишется в виде интеграла по всей области D:

Показателем противоположной, центробежной тенденции в настоящей работе предлагается использовать суммарное расстояние от населенного пункта до пределов контролируемой им территории (зоны влияния). Чем меньше расстояние до нее, тем выгоднее это для землепользования. Руководствуясь подобными соображениями, жители (земледельцы) стараются расселиться как можно равномернее по всей территории.

Зона влияния населенного пункта, расположенного в точке x на D также может быть выражена через функцию плотности p(x). Так, площадь σ(x) этой зоны является величиной, обратной плотности: σ(x)=1/p(x). Ее радиус R(x) определяется из формулы для площади круга:

Здесь мы предполагаем, что зоны влияния населенных пунктов близки к круговой форме. Таким образом, второй функционал также представляется в виде интеграла по всей области D:

Итак, варьируя в качестве аргумента функцию плотности p(x), мы получаем те или иные значения обоих функционалов. Среди всех возможных вариантов интерес представляет лишь функции, реализующие оптимум Парето. Опуская математический аппарат (желающие могут посмотреть все выкладки в Приложении), получаем отсюда оптимальное соотношение, связывающее функцию плотности и функцию расстояния до ближайшего центра:

Полученное соотношение позволяет сделать ряд важных выводов относительно оптимальных параметров модели.

Во-первых, чем больше значение функции r(x) в точке x области D, тем меньше значение p(x). Другими словами, при удалении от центра плотность населения падает.

На логарифмической шкале эта обратная зависимость оказывается линейной:

ln p(x) = μ - 2/3 ln r(x), где μ – некоторая постоянная.

Если перейти от плотности населения и расстояния до ближайшего центра к численности населения и площади зоны влияния центра, то зависимость также остается степенной:

Таким образом, чем больше площадь S зоны влияния центра, тем больше в ней численность N населения. Интересно, что зависимость между средней плотностью населения зоны влияния и площадью этой зоны обратная:

То есть, чем больше средняя плотность населения зоны влияния, тем меньше ее площадь. Если вместо этих величин рассматривать их логарифмы, то зависимости между ними превращаются в линейные с соответствующими коэффициентами:

ln N = A +2/3 ln S, ln p = A – 1/3 ln S.

Более подробное рассмотрение математических аспектов предложенной модели дается в Приложении.

Численные эксперименты

Апробацию предложенной модели проведем на примере системы расселения территории Деревской пятины Новгородской земли конца XV века, реконструированной А.А. Фроловым и Н.В. Пиотух на основе писцовых книг письма 1495-1496 гг. Результаты своей реконструкции авторы приводят в Историческом атласе Деревской пятины Новгородской земли ^[6] (в дальнейшем – Атласе), который будет использоваться нами в качестве непосредственного источника.

Новгородские пятины состояли из территориальных округов (погостов), слабо связанных друг с другом. Население погоста проживало в малодворных поселениях (согласно Атласу, Деревская пятина с общей площадью около 32 тыс. кв. км в конце XV века включала 69 округов, в которых располагалось 9889 поселений с 22187 дворами; таким образом, на деревню в среднем приходилось 2-3 двора), а его центральное поселение совмещало функции административно-территориального и административно-финансового (фискального) центра.

Отметим, что с этими данными работал выдающийся математик, академик А.Н. Колмогоров в рамках его исследований по новгородскому землевладению XV века на семинаре С.В. Бахрушина. Как удалось установить Колмогорову, размер двора на тот период времени был примерно одинаков и составлял 5-6 человек ^[10].

Вывод Колмогорова о постоянстве размера двора имеет очень важное значение, поскольку позволяет заменить в качестве параметра модели функцию плотности населения на функцию плотности дворов. С учетом этого система размещения центров представляется в виде следующего иерархического ряда: деревня (совокупность дворов) – центральное поселение погоста. Соответственно, две тенденции, формирующие эту систему (см. Раздел 2), получают следующую интерпретацию: центростремительная тенденция заставляет людей располагать свои дворы (поселения) как можно ближе к центральному поселению погоста, а центробежная – как можно ближе к обрабатываемой ими площади.

Напомним, что одним из теоретических результатов предложенной модели является линейная зависимость между логарифмом от числа дворов и логарифмом от площади погоста (зоны влияния центра) с коэффициентом 2/3. Проверка соответствия этого теоретического результата эмпирическим данным из Атласа (Приложение 1) проводилась с помощью пакета статистических программ Statistica:

Рис.4 Диаграмма рассеяния для логарифма от числа дворов (Var2) и логарифма от площади погоста (Var1)

Рис.5 Матрица корреляции для логарифма от числа дворов (Var2) и логарифма от площади погоста (Var1)

Как следует из рис.4 и рис.5, гипотеза о линейной зависимости между признаками Var2 и Var 1 подтверждается с уровнем значимости 95%. Коэффициент линейной регрессии между ними составляет 0,7308, что отличается от теоретического (2/3) на величину 0,064. Коэффициент корреляции между ними равен 0,85. То есть изменения зависимого признака объясняются изменениями независимого примерно на 72% (коэффициент детерминации).

Отметим, что если заменить логарифмическую шкалу на обычную, то гипотеза о линейной зависимости не подтверждается:

Рис.6 Диаграмма рассеяния для числа дворов (Var2) и площадью погоста (Var1)

Рис.7 Матрица корреляции для числа дворов (Var2) и площадью погоста (Var1)

Заключение

Настоящая статья посвящена моделированию системы пространственного размещения населения в историческую эпоху. Обзор некоторых популярных подходов (модель Кристаллера, вероятностный подход) показал необходимость учета неоднородности при моделировании. Предложенный С.М. Гусейн-Заде подход лишен этого недостатка и тем самым открывает новые перспективы в плане моделирования систем расселения. Этот подход опирается на оптимизационный принцип, что позволяет выявлять и численно описывать соотношения между оптимальными параметрами системы. В частности, в настоящей статье была предложена модель одноуровневой иерархии центров (центральных поселений). Развитие всей системы происходит в логике уравновешивания двух главный тенденций: центростремительной и центробежной. Другими словами, система обладает самоорганизацией, направляя неявно устремления ее отдельных компонентов к достижению общей цели (равновесия).

Предложенная модель апробировалась на конкретном историческом материале (система сельского расселения Деревской пятины Новгородской земли на конец XV века). Полученный результаты с высокой долей вероятности (коэффициент детерминации составил около 72%) подтвердили адекватность и корректность модели. Оказывается, что сложившаяся к тому моменту система центров явилась результатом свободного, никем не сдерживаемого процесса расселения. При этом были выявлены два основных фактора расселения: центростремительный и центробежный. Первый фактор отражает концентрацию населения вблизи своего центра (погоста) и может быть объяснен соображениями безопасности, логистическими, а также религиозными (учитывая, что центральное поселение погоста в то же время являлось средоточием отправления церковного культа) причинами. Второй фактор обусловлен необходимостью быстрого и беспрепятственного доступа населения (земледельцев) к обрабатываемым ими участкам земли, и в этом он коррелирует с представлениями о равномерности расселения в модели Кристаллера и вероятностного подхода. В то же время необходимо отметить, что сложившаяся картина исторического расселения явилась результатом сочетания (или равновесия) обоих факторов.

В качестве методологической задачи представляет интерес изучение системы размещения центров в динамике (обзор имеющихся подходов динамического анализа эволюции поселений см в ^[11]). Изменение на каком-либо временном срезе оптимальных параметров системы, тем более смена модели ее развития, могло бы свидетельствовать о кардинальном сдвиге в социально-экономическом и социально-политическом устройстве изучаемой территории.

Приложение 1

Элементывариационногоисчисленияитеорииоптимизации

Определение 1. Приращением (вариацией) δy аргумента y(x) функционала F называется разность между функциями y1(x)-y(x):

Рис.1 Вариация аргумента функционала

Приращению δy аргумента соответствует приращение функционала.

Определение 2. Главная (линейная) часть приращения функционала F называется вариацией δF функционала: F[y1(x)] = F[y(x)] + δF + o(δy), где o(δy)–величина, бесконечно малая относительно δy.

Пример 1.

Функционалом является длина l кривой, которая соединяет две заданные точки A и B двумерной плоскости и задается функцией y(x) :

Рис.2 График кривой, соединяющей две заданные точки

Понятно, что минимальное значение (экстремум) этот функционал достигает при выборе в качестве аргумента функцию y(x), задающую отрезок с концами в точках A и B.

Утверждение 1. Необходимым условием экстремума является равенство нулю вариации функционала (условие стационарности):

δF = 0.

Полным аналогом этого утверждения в теории максимума и минимума функций является равенство нулю производной.

Другими словами, оптимум Парето является неулучшаемой стратегией. Любое ее изменение приводит к ухудшению (увеличению) хотя бы одной целевой функции.

Таким образом, оптимум Парето является решением следующей задачи оптимизации:

Обратимся теперь к модели одноуровневой иерархии центров из Раздела 2. Эта модель характеризуется двумя функционалами:

Исходя из вариационного принципа (см. Утверждение 1), оптимум достигается при таком выборе функции p(x), при котором вариация функционала равняется нулю:

Последнее соотношение должно быть справедливо при любых вариациях δp(x). С учетом этого, получаем следующее соотношение между p(x) и r(x):

То, что при таком выборе p(x) действительно реализуется минимум, следует из положительности второй вариации функционала:

Получим теперь соотношение, связывающее численность N населения зоны влияния центра и ее площадь S. Численность населения определяется из функции плотности p(x) по формуле:

Если предположить, что форма зоны влияния центра близка к кругу, то в последней формуле интегрирование по площади можно приближенно заменить на интегрирование в полярных координатах. Учитывая далее формулу (1), имеем:

.

Приложение 2

Территориальные округа (погосты и волости) Деревской пятины. Общие характеристики (источник – ^{[6, с.58-59]})

Приложение 3

Территория Деревской пятины по писцовым книгам письма 1495-1496 гг. (источник – ^{[6, с.17]})

Цифрами обозначены погосты: 1-Холынский, 2-Боженский, 3-Бронницкий, 4-Наволоцкий, 5-Понедельский, 6-Тюхолский, 7-Сытинский, 8-Лажинский, 9-Морозовский, 10-Холовский, 11-Листовский, 12-Крестецкий, 13-УстьВоломский, 14-Островский, 15-Черенчевичский, 16-Теребуновский, 17-Оксоцкий,18-Кременичский, 19-Бельский, 20-Никольский в Шереховичах, 21-Язвищский, 22-Полищский, 23-Шегринский, 24-Дмитриевский Кострицкий, 25-Ситенский, 26-Локоцкий, 27-Ручьевский, 28-Семеновский, 29-Налеский, 30-Яжелбицкий, 31-Еглинский, 32-Неретцкий, 33-Ужинский, 34-Туренский, 35-Пиросский, 36-Боровицкий, 37-Великопорожский, 38-Рютинский, 39-Сеглинский, 40-Млевский, 41-Коломенский, 42-Бологовский, 43-Березайский на Березе, 44-Михайловский, 45-Короцкий, 46-Городенский, 47-Вельевский, 48-Жабенский, 49-Посонский, 50-Заборовский, 51-Ясеновичский, 52-Полоновский, 54-Молвятицкий, 55-Деманский, 56-Буховский, 61-Курский, 62-Черенчицкий, 63-Налючский, 64-Борковский, 65-Устьянский, 66-Рамышевский, 67-Петровский, 68-Холмский; волости: 53-Стерж, 57-Морева, 58-Велила, 59-Лопастицы, 60-Буец, 69-Березовец.