Mathematical structures and symmetry principles in Arvo Pärt’s music and choreographic projections

Argamakova Nataliia Vsevolodovna Postgraduate at Vaganova Ballet Academy  121552, Russia, g. Moscow, shosse Rublevskoe, 107, kv. 272 argamakova@yandex.ru Other publications by this author

Общеизвестна принадлежность музыки и математики к принципиально различным сферам бытия, однако, столь же очевидным становится и факт того, что как музыкальные, так и математические закономерности описываются при помощи одних и тех же числовых пропорций. В музыке структурные слои, такие как темп, метр, ритм, размер имеют математическое описание. А.Ф. Лосевв своем фундаментальном труде «Музыка как предмет логики», в разделе «Музыка и математика», утверждает, что оба этих явления – «одно и то же в смысле идеальности сферы, к которой то и другое относится. (…). музыка есть бытие sui generis, такое же неподвижно-идеальное, законченно-оформленное, ясное и простое, как любая простейшая аксиома или теорема математики» ^{[1, с.261]}.

Тождество математических и музыкальных структур, а также обоснование принципов музыкальной гармонии при помощи первых — общеизвестный факт. В этом отношении, обращение эстонского композитора Арво Пярта к математическим структурам в построении композиции — также явление закономерное. Числовые пропорции определяют сущность представлений Пярта о гармонии как проявлении божественного начала, а симметричные структуры — отражение сакрального в звуковом пространстве.

Симметрия, выраженная в музыке Пярта с помощью математических структур и пропорций, для композитора — одно из проявлений совершенства. Так как и в искусстве в целом, понятие симметрии, которое было заложено в античную эпоху Аристотелем, Платоном, Пифагором, не исчерпывается абсолютным значением тождественности и геометрического равенства.

Понимание понятия симметрии в различные времена претерпевало изменения: в античной культуре симметрия представлена как согласованность отдельных частей и целого ^{[2, с. 192]}. С 1872 года возникает новый ракурс в трактовке симметрии в трудах математика Ф. Клейна, автора «Эрлангенской программы»^[3]. В клейновской интерпретации симметрия характеризует переход объектов в самих себя или друг в друга при осуществлении над ними определенных преобразований, являя собой свойство неизменности или инвариантности. В работе М. Ломанова предлагается одна из возможных типологий применения симметрии в музыке – групповая организация, предполагающая введение теории групп в качестве инструментария изучения симметрии ^[4]. Группа в данном случае – это множество элементов, объединенных какими-либо связями. Элементы – это объекты и действия различной сложности (повороты, сдвиги, отражения).

Проявления симметрии в музыке Пярта различны и отражение этих принципов в хореографических структурах в рамках спектаклей, поставленных на музыку композитора, оказывается своего рода «зеркалом в зеркале» по аналогии с его одним из наиболее известных музыкальных произведений «Spiegel im spiegel».

В пьесе «Spiegel im Spiegel», к которой часто обращаются хореографы, присутствует принцип симметрии. Ряд из восьми паттернов, составивший основу пьесы, подлежит аддитивному процессу расширения за счет постепенного мелодического наращивания диапазона. Принцип зеркальной симметрии бесконечного умножения отражений паттерна создает симметричную мелодическую линию. Ось симметрии – М-голоса (трезвучие а) при прибавлении звуков (аддиции) создает так же симметричную мелодическую линию. Таким образом, две оси – как мелодический вектор, так и гармонический оказываются симметричны. Простота паттерна и гаммообразные ходы, которые составляют основу пьесы, создают для слушателя соответствующие условия восприятия.

Музыка «Spiegel im Spiegel» представлена определенностью модального центра, устойчивостью звуковых импульсов, ритмо-временной слоистостью ритмических рядов, плавностью движения и замедленной метрической пульсацией. Однородная, вязкая и резонансная звуковая текстура обусловлена постоянством основного тона с последующим заполнением обертонами.

Идея звуковысотного роста паттернов в «Spiegel im Spiegel» Пяртом дана потенциально: ее разрастание при помощи отражений может умножаться бесконечно, однако в восьмом проведении паттерна круг замыкается, так как мелодичекий голос начинается с того же звука, что и первый (проведение от звука «g»). Таким образом, мы можем говорить о проявлении симметрии в звуковых структурах музыки Пярта.

В не менее известном, чем предыдущее, произведении А. Пярта «Fratres» композитор применяет технические приемы, свойственные минимализму, аддиции (наращивания звуковых рядов), аугментации (сокращения рядов или их системное убывание) и ракоходные формы. В статье К. Заморниковой и М. Катунян «“Fratres” Арво Пярта – молитва в музыке» авторы определяют форму как строфическую с ритурнелем. Они утверждают, что в пьесе второй и третий такты каждой полустрофы построены на приёме аддиции - в каждом из этих тактов к теме (ритмомелодической ячейке) прибавляется ровно по две четверти. В качестве примера они приводят следующую схему:

такт 3: 2.1.1.3;

такт 4: 2.1.1.1.1.3;

такт 5: 2.1.1.1.1.1.1.3.

При том, что форма пьесы – строфическая с ритурнелем, в ней прослеживаются черты своеобразной «обратной перспективы»: вопреки стереотипам концертной формы.

Ритмическая прогрессия, применяемая композитором, приводит к прогрессии мелодической: «ячейка расширяется в каждом такте на два новых звука, принцип опевания и возвращения к исходному тону сохраняется» ^[5] Авторы справедливо утверждают, что если провести ось симметрии в середине каждого такта, то можно заметить зеркальное отражение ритмического рисунка обеих половинок такта. По мнению исследователей, основу «Fratres» составляют зеркальные симметричные структуры. Общая идея также демонстрирует наличие принципа ракохода. Такты 6–8, полагают авторы статьи, сочетают в себе как аддицию, так и ракоход. Ритмический рисунок этих трёх тактов в точности повторяет предыдущие три такта, то есть повторяется та же ритмическая прогрессия:

такт 6: 2.1.1.3;

такт 7: 2.1.1.1.1.3;

такт 8: 2.1.1.1.1.1.1.3.

Таким образом, очевидно, что во «Fratres» применяется в качестве основополагающего принципа – зеркальная симметрия.

Концерт для двух скрипок, струнного оркестра и препарированного фортепиано «Tabula rasa» («чистая доска» - лат.) также неоднократно фигурирует в качестве основы для различных хореографических воплощений. В концерте две части: «Ludus» (Игра) и «Silentium» (Молчание). В первой части Пярт применяет традиционную цифровую и буквенную нумерации эпизодов, где первая отмечает вступления темы у оркестра, а буквенная – у солистов. Восемь вариаций отмечены 24 буквами алфавита, а последняя буква (Z) отмечает эпизод перехода к каденции. Вторая часть - «Silentium» (Молчание) продолжает развитие пяртовской идеи «безмолвной молитвы». Пярт обнаруживает близость к кейджевскому пониманию тишины, перефразируя по-своему американского композитора: «Как можно последующую тишину — молчание — заполнить звуками, достойными предшествующего молчания — Тишины». «Нет никакого сомнения: пауза — это звук» ^{[6, с. 97]} Известная пьеса «4:33» Кейджа первоначально должна была называться «Silent prayer» («Безмолвная молитва»). Аналогично кейджевской концепции «Silentium» — это безмолвное вопрошание к Господу.

«Summa» (1977), также фигурирующая в качестве музыкальной основы для хореографических интерпретаций, изначально была написана для хора a capella на ординарий Credo. В основе лежал текст основополагающей христианской молитвы - Credo.

В переложении автор не вторгался в исходную структуру, лишь менял тембры. Этот подход вызывает аналогию с барочными практиками переноса вокальных сочинений в инструментальную область, и в качестве примера подобного подхода здесь будет уместно привести хоральные прелюдии Баха. Текст Credo можно разделить на 364 слога, Пярт преимущественно использует силлабический принцип. Восемь страниц партитуры «Summa» имеют абсолютно аналогичную структуру: каждая страница содержит деление на 23 слога, группирующихся на 7-9-7 слогов, где группа из 7 слогов представлена либо у сопрано / альта или тенора / баса в чередующемся паттерне, зеркально обрамляя хоровой паттерн, включающий в себя 9 слогов. Эта же модель в хоровом оригинале, далее поддерживается и во всех последующих вариантах для разных инструментов.

Рис.1 «Summa». Схема

Каждая из восьми страниц партитуры отражает форму треугольника. Треугольник для Пярта – это символ Троицы – триединства, выраженного в качестве центрального элемента в структуре «Summa». Учитывая, что латинский текст, Credo — это утверждение веры в Святую Троицу, структурное использование треугольника вполне обосновано. Интерес к палиндромным формам, проявившийся еще в творчестве Веберна, весьма актуален и для Пярта: SATOR AREPO TENET OPERA ROTAS — известный палиндром-магический квадрат, который в качестве примера основам своего творческого метода приводит Антон Веберн в своих «Лекциях о Новой музыке» - сочетание латинских слов, помещённое в квадрат таким образом, что слова читаются одинаково справа налево, слева направо, сверху вниз и снизу вверх.

Рис.2 Палиндром SATOR

«Отче наш» на латыни Pater Noster – cловосочетание, которое также является анаграммой при перестановке букв дважды (с единственной «N»). Буквы «A» и «O» в данном случае символизировали «альфу и омегу».

Рис.3 Палиндром в виде креста «Pater Noster»

Одним из ведущих принципов хореографического искусства является взаимодействие симметричных и асимметричных форм и структур. При этом, необходимо подчеркнуть, что у хореографов различное отношение к планировке сцены и хореографического рисунка с точки зрения представлений о симметрии как о безусловном критерии красоты и гармонии: так например, балетмейстер Горский говорил: «…У меня оригинальная планировка,… я совершенно не признаю соблюдения какой-либо симметрии… Симметрия в балете меня никогда не удовлетворяла… Скучно, когда видишь, что на обеих половинах сцены проделывается буквально то же самое…»^{[7, с. 86]}. Л.Д. Блок в своем исследовании «Классический танец, история и современность» пишет о симметричных принципах хореографии следующее: «Построение танцев всегда прямолинейное, ходы по кругу или дугам применяются мало; в entréeseule всегда выход из середины и продвижение вперед по прямой линии до авансцены; иногда уже на полпути маленькие отходы под прямым углом направо, налево и возвращение на ту же прямую, отступление назад по тому же пути, иногда небольшие закругления на перемене направления пути. Но в общем – весь танец не разбрасывается по сцене, а держится все той же основной прямой, небольших перпендикуляров и параллельных к ней линий. Entréesadeux танцовщика и танцовщицы строятся абсолютно симметрично: оба делают совершенно одни и те же па и проходят тот же путь – только одна направо, а другой налево и с разной ноги, так что рисунок пути дает точно симметричный узор» ^{[8, с. 183-184]}.

Симметрия, в первую очередь, – это геометрически выверенное и уравновешенное расположение тела артиста, его положение в пространстве. Принцип симметрии прослеживается на всех этапах формирования хореографического искусства: симметрично большинство балетных позиций (например, первая и пятая), а также отдельные совместно в едином ритме выполняемые танцовщиками движения. Наряду с тем, основой собственно работы хореографа становится противопоставление симметрии и асимметрии. Оппозиция симметрии и асимметрии является основой структурирования движений. Геометрия движений и положения тела – не единственная точка пересечения математики и хореографии. Саму смену положений тела танцовщика в пространстве можно рассмотреть в качестве многомерной динамической системы. Таким образом, можно совершить попытку установить связи между «лирической геометрией» (выражение Аймерта, адресованное музыке Антона Веберна) музыки Пярта и геометрией хореографических линий балетов на его музыку.

В балете «Отелло» Джон Ноймайер обращается к двум произведениям Арво Пярта – «Spiegel im spiegel» и «Tabula Rasa». Пьеса «Spiegel im spiegel» использована здесь в качестве музыкальной основы сцены первой брачной ночи Дездемоны и Отелло. Проникновенный дуэт начинается с абсолютно симметричного решения хореографических линий главных персонажей. Появляясь на сцене рука об руку, молодожены от полноты чувств не в силах развернуться друг к другу лицом: первые движения полны смущения и нежности, поэтому в начале дуэта исполнители стоят спиной к партнеру. В первой части использован принцип центральной симметрии: Дездемона стоит анфас по отношению к зрителю, Отелло – спиной. Такой вид симметрии в данном случае направлен на активное взаимодействие танцовщиков между собой, их танец развертывается не в плоскости восприятия зрителей, а в плоскости взаимодействия исполнителей друг с другом. Размеренные и плавные движения постепенно перерастают в чувственный любовный дуэт, который, как нельзя лучше, оттеняется спокойным и исполненным симметрии началом этой сцены.

Рис.4 «Отелло»

Парафраз этой сцены можно увидеть во второй части балета, где последний дуэт главных героев положен на «Tabula Rasa» Пярта. Здесь эта симметрия приобретает важное концептуальное значение. Обращаясь в последнем дуэте к эмоциям и пластической лексике первого, хореограф показывает близость и последние искры любви героев.

Миниатюра Ханса ван Манена «Дежавю» – спектакль, в основу которого положена тотальная симметрия в различных своих видах. Поставлен спектакль на музыку «Fratres» А.Пярта.

С началом музыкального вступления на сцене с разных ее концов появляются два персонажа – женщина и мужчина, энергичными движениями они перемещаются к центру, создавая своими телами абсолютно симметричную динамическую композицию. Хореография этой музыкальной части построена исключительно на принципах соотнесенности и соразмерности одного движущегося тела другому. Визуально-пластический «поединок» вступления заканчивается с первыми звуками ритурнеля и началом взаимодействия танцовщиков. Удивительно, что при этом симметрия как формообразующий принцип не теряет свою концентрацию. Графично-экспрессивный язык Ханса ван Манена словно бы создан для такого геометричного прочтения музыки Пярта.

Рис.5 «Дежавю»

Глубокое плие по широкой второй позиции, исполняемое в фас относительно зрителя обоими исполнителями, становится фигурой-знаком полного слияния танцовщиков. Эта поза несколько раз фигурирует в хореографическом тексте, при каждом последующем появлении повышая эмоциональный накал. Ее полная симметрия, намеренная открытость, слияние в одном движении двух тел отражают чувственность этого спектакля и становятся его визуальным символом. Зеркальная симметрия в движениях исполнителей лишь изредка прерывается поддержкой или вращением, таким образом создавая игру ракурсов и осей, в рамках которых существуют танцовщики.

Рис.6 «Дежавю»

Финал спектакля перекликается своим пластическим построением с хореографией вступления, развертываясь в обратном направлении. Благодаря этому создается тот же принцип зеркальной симметрии, но развернутый не только в пространстве, но и во времени.

Эмоциональная зарисовка – дуэт Ханса ван Манена – благодаря уравновешенности частей, симметрии, которая проявляется ярче на фоне плоскостности хореографического рисунка, равноценности партий исполнителей создает историю о двух равноправных партнерах – мужчине и женщине. Общее пластическое решение спектакля в его единообразии воспринимается зрителем как монолитная чувственно-геометричная конструкция.

В балете Раду Поклитару «Палата №6» симметрия как принцип движения тел и организации их в пространстве проявляется пусть и не столь отчетливо, но практически в каждой сцене спектакля.

В первой части, поставленной на «Fratres», содержится проекция принципа осевой симметрии в первой групповой сцене, где центром композиции, вокруг которого выстраивается пространство, является кровать с больным Иваном Дмитриевичем.

Следующая сцена поставлена на вторую строфу этой же музыкальной композиции, в этом эпизоде врач Андрей Ефимович возвращается домой. Здесь происходит смена принципа симметрии: если в первой сцене по типу она осевая, то во второй центральная. Проявляется она в движениях врача и почтмейстера при их встрече и прощании. Эти же движения эхом отдаются в следующей сцене, где те же персонажи оказываются в новых обстоятельствах: совместном путешествии. Второй эпизод поставлен на музыку композиции «Summa» Пярта. Наличие двух действующих лиц располагает к симметричному построению танцевального рисунка, и хореограф использует его в нескольких фрагментах танцевальной канвы, обращаясь к принципу орнаментального раппорта – еще одного вида симметрии – в совмещении танцевальных линий персонажей.

Третья заключительная часть поставлена на «Spiegel im Spiegel». В хореографии этого фрагмента использовано сразу несколько видов симметрии с аллюзией на предыдущие части. В дуэте Ивана Дмитриевича и врача Андрея Ефимовича использован раппорт, причем более явно, чем в предыдущей части, а в финальной сцене хореограф также обращается к приемам и танцевальной лексике из фрагмента, поставленного на «Fratres», что позволяет закольцевать композицию.

Использование симметрии в данном конкретном случае обусловлено хореографическим решением всей постановки и образным языком главных действующих лиц. Принцип работы с композицией, основанный на соразмерности и равноудаленности, наличие зеркальных параллелей между персонажами наполняет спектакль новыми смыслами, создает визуально-пластическое поле спектакля.

Начо Дуато в балете «Nunc Dimittis», поставленном на одноименное произведение Арво Пярта, его же «Agnus Dei» и «Littlemore tractus», а также на колокольную партию, написанную Давидом Азагрой, обращается к различным видам симметрии.

Уже в первой сцене мы видим использование симметрии как принципа композиционного построения пространства. Главная героиня находится в центре сцены, формируя центральную ось, кордебалет же расположен по краям на равном удалении от танцовщицы. Таким образом, создается осевая симметрия.

Однако композиционная симметрия не единственная, которой пользуется хореограф. Принцип осевой симметрии появляется у Начо Дуато и в дуэтах кордебалета, причем в качестве оси в разных случаях выбираются различные линии (это может быть и линия, обозначающая центр пары, и центральная ось тела танцовщика). Помимо дуэтов, встречается симметрия и в трио главной героини и двух танцовщиков (в данном случае центральная ось совмещает в себе обе линии, использовавшиеся в дуэтах, так как линия эта является одновременно и центром трио, и центральной осью тела исполнительницы).

Рис.7 «Nunc Dimittis»

В отношении симметрии интересна также одна из последних сцен спектакля, где симметрия создается путем наложения линий тел исполнителей друг на друга. Танцовщики идут вглубь сцены спиной к зрителям, открыв в сторону правую руку, то же самое делают танцовщицы, но развернуты они лицом к зрителю и идут навстречу партнерам. Когда они сходятся, образуется форма креста, через центр которого пролегает ось симметрии.

Рис.8 «Nunc Dimittis»

Начо Дуато, создавая балет «Nunc Dimittis», основанный на религиозной и мистической музыке Пярта, использует симметрию как отражение гармонии и стройности божественного порядка.

В своих произведениях Арво Пярт часто обращается к математическим структурам в построении композиции. Обусловлено это не только рациональными основаниями авторской техники tintinnabuli, но и духовной составляющей пяртовской музыки, так как часто структура в сочинениях композитора носит символический характер. Как мы видим из рассмотренных выше примеров, применение Пяртом математических конструкций может быть различно (как, например, использование геометрических форм), однако чаще всего в произведениях, вызывающих наибольший интерес у хореографов, композиционным принципом является симметрия. Она многообразна с точки зрения своей формы. Так, в «Spiegel im spiegel» она проявляется и на уровне мелодического вектора, и гармонического. Во «Fratres», прежде всего, прослеживается симметрия ритмического рисунка в такте.

В балетах, поставленных на музыку Пярта, мы наблюдаем обращение хореографов к принципам симметрии, как одному из способов взаимодействия с музыкой. Помимо того, что симметрия представлена в различных своих видах (центральная, осевая и т.д.), она играет не одинаковую роль в визуально-смысловом поле спектакля. В «Отелло» Ноймайера центральная симметрия подчеркивает интимность любовной сцены, а также вводит параллель между двумя ключевыми моментами балета. В «Дежавю» Ханса ван Манена симметрия, представленная в разнообразных своих формах, является, в первую очередь, изобразительным художественным средством. В «Палате № 6» Поклитару симметрия имеет как композиционно-визуальную, так и семантическую функцию. «Nunc Dimittis» Начо Дуато в чем-то ближе к «Дежавю» (возможно, из-за отсутствия как в одном, так и в другом конкретного сюжета), однако в силу религиозной тематики спектакля, принцип симметрии, как и у Пярта, приобретает символический характер. Таким образом, мы видим, что в зависимости от художественной задачи, отношений с музыкой, жанровой принадлежности балета, принципы симметрии, заложенные в композиции сочинений Пярта и находящие отражение во многих хореографических интерпретациях его произведений, по-разному используются балетмейстерами.