Уточнение элементов орбиты Юпитера с использованием физической модели орбитального движения

Островский Николай Владимирович кандидат технических наук Ветеран труда 613044, Россия, Кировская область, г. Кирово-Чепецк, ул. 60 Лет Октября, 5/1, кв. 76 Ostrovskii Nikolai Vladimirovich PhD in Technical Science Veteran of Work 613044, Russia, Kirovskaya oblast', g. Kirovo-Chepetsk, ul. 60 Let Oktyabrya, 5/1, kv. 76 onv1@yandex.ru Другие публикации этого автора

Введение

Орбитальными элементами небесного тела в астрономии называют набор параметров, задающих размеры и форму его орбиты и расположение орбиты в пространстве.

Основные законы движения планет были сформулированы ещё в начале XVII в. Иоганном Кеплером ^[1]:

1) Планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

2) Радиус-вектор планеты описывает площади прямо пропорциональные промежуткам времени.

3) Квадраты сидерических (т.е. измеренных относительно неподвижных звёзд) периодов обращения планет прямо пропорциональны кубам их средних расстояний от Солнца.

За прошедшие 400 лет эти законы были подтверждены и обоснованы фундаментальными законами физики.

Традиционно, для описания орбит используют шесть величин, получивших название Кеплеровых ^[2]:

а – длина большой полуоси;

е - эксцентриситет;

i – наклонение плоскости орбиты к плоскости эклиптики;

ω – аргумент перицентра (угловое расстояние от восходящего узла);

Ω – долгота восходящего узла (угловое расстояние от направления на точку весеннего или осеннего равноденствия Земли);

М₀ – средняя аномалия.

Также к орбитальным элементам относят:

T – сидерический период обращения;

L – долготу перигелия, которая равна сумме долготы восходящего узла и аргумента перицентра.

Для расчёта положения небесного тела в пространстве используют эфемериды. В настоящее время понятие «эфемериды» объединяет как собственно координаты небесного тела, вычисленные для определённых моментов времени, так и алгоритмы вычисления координат и используемые для этого программные средства ^[4]. Обратившись к эфемеридам мы также можем рассчитать орбитальные элементы, сопоставив между собой координаты тела в перигелиях и афелиях и интервалы времени между положениями тела, имеющими равные долготы.

Сопоставление между собой орбитальных элементов Юпитера, представленных в различных справочных изданиях и монографиях, и вычисленных исходя из эфемерид, показывает определённые расхождения, что заставляет усомниться в точности некоторых из них. Для уточнения значений орбитальных элементов был использован метод физического моделирования движения Юпитера, который позволил решить поставленную задачу.

Модель орбитального движения небесных тел

Движение планет можно описать следующим образом ^[3].

В случае круговой орбиты две силы, действующие на тело – сила тяготения и центробежная сила – уравновешены:

, где: (1)

G – универсальная гравитационная постоянная,

М – масса центрального тела,

m – масса движущегося тела,

v – орбитальная скорость,

r – радиус орбиты.

Отсюда мы можем найти, что:

. (2)

В случае эллиптической орбиты величина r является переменной и равенство (1) выполняется только в двух точках, когда радиус-вектор перпендикулярен большой оси эллипса. В иных точках на тело действует ускорение, равное разности между ускорением силы тяготения и центробежным ускорением:

. (3)

Под действием этого ускорения тело приобретает радиальную скорость, направленную вдоль радиус-вектора:

, (4)

что приводит к изменению его длины:

. (5)

Таким образом, мы можем представить движение тела по эллиптической орбите как суперпозицию кругового и радиального движений (см. рис. 1).

Рисунок 1. Движение тела по эллиптической орбите ^[3].

Второй закон Кеплера является следствием закона сохранения момента количества движения (углового момента): Если на тело действуют только центральные силы, то есть направленные вдоль радиус-вектора тела относительно центра, то величина углового момента, описываемого уравнением:

, (6)

сохраняется ^[5]. Отсюда следует, что зная угловой момент и рассчитав по уравнению (5) величину радиус-вектора тела мы можем найти его круговую скорость v_C.

Следовательно, зная в момент времени t₀, величины r, v_C и v_R, мы можем рассчитать значения этих же величин в любой другой момент времени.

Что бы перейти от классических орбитальных элементов a и Т к r, v_C и v_R мы можем воспользоваться свойствами эллипса. В перигелии – точке планетарной орбиты максимально приближенной к солнцу v_R = 0,

, (7)

. (8)

Теперь, зная r и v_C, мы можем найти K и провести детальный расчёт орбиты тела, т.е. для каждого момента времени найти длину радиус-вектора и угловое расстояние от перигелия. Зная наклонение орбиты, долготу восходящего узла и аргумент перигелия мы можем полученную орбиту должным образом ориентировать в пространстве.

Результаты расчётов и их обсуждение

Обратимся теперь к Юпитеру. В таб. 1 представлены орбитальные элементы Юпитера из различных источников. Наилучшая сходимость наблюдается для периода обращения, поскольку это результат прямых астрономических наблюдений. Для длины большой полуоси расхождения присутствуют в четвёртой значащей цифре, а для эксцентриситета – уже в третьей. Это находит своё отражение в вычисленном значении удельного (т.е. делённого на массу) углового момента.

Таблица 1

Орбитальные элементы Юпитера

Начиная с системы Ньюкома, разработанной 1898 г. ^[9], были созданы различные по методологии и конкурирующие между собой по точности математические модели расчёта эфемерид. Наиболее разработанными к настоящему времени являются эфемериды серий DE (Jet Propulsion Laboratory NASA, США), EPM (Институт прикладной астрономии РАН, Россия) и INPOP (IMCCE / Observatoire Cote d’Azur, Франция) ^[10]. Также заслуживают внимания доступные в on-line режиме эфемериды Национальной астрономической обсерватории Японии (NAOJ) ^[11] и удобная в использовании программа для расчёта эфемерид Planeph 4.2, разработанная во французском Бюро долгот ^[12].

На сайте ИПА РАН эфемериды серий DE, EPM и INPOP доступны в on-line режиме ^[13]. Для текущего периода времени могут быть использованы эфемериды DE241, EPM2017 и INPOP10e. Расхождения между ними не превышают 3·10^-6, поэтому в дальнейшем изложении мы ограничимся использованием EPM2017.

В таб. 2 представлены эфемериды Юпитера, а в таб. 3, вычисленные на их основе орбитальные элементы. Наибольшие расхождения мы имеем при сопоставлении результатов, полученных для гелиоцентрических и барицентрических моделей. Барицентрическая модель основывается на так называемой постньютоновской теории, согласно которой планеты обращаются не вокруг центра Солнца, как полагали И. Кеплер и И. Ньютон, а вокруг центра масс Солнечной системы, положение которого всё время меняется в связи изменением положения тел, входящих в систему, и который может отстоять от центра Солнца на несколько сот тысяч километров.

Таблица 2

Эфемериды Юпитера

Таблица 3

Результаты расчёта элементов орбиты Юпитера

Представляет интерес оценить, к каким результатам приводит использование опубликованных и вычисленных в данной работе элементов орбиты Юпитера в описанной выше физической модели орбитального движения. Для этого было проведено два вида расчётов:

1) расчёт величины оборота, который совершает Юпитер из перигелия за время, равное сидерическому периоду обращения;

2) расчёт величины оборота, который совершает Юпитер из перигелия до наступления следующего перигелия.

В расчётах была использована гелиоцентрическая гравитационная постоянная GM = 1,32712·10²⁰ м³/(кг·с²) ^[14], интервал времени Δt = 6 мин. Результаты расчётов представлены в таб. 4. Как мы видим, ни один из наборов орбитальных элементов не даёт нам ожидаемого результата: за время, равное сидерическому периоду обращения Юпитер должен совершить оборот на 360,000º. Гелиоцентрические модели дают заниженный результат, барицентрические – завышенный. Это свидетельствует о том, что данные орбитальные элементы дают нам неточное значение углового момента.

Таблица 4

Обращение Юпитера

Как было уже отмечено, центральные силы не влияют на величину углового момента. Нецентральные силы могут влиять как на модуль, так и направление углового момента в пространстве. Это ведёт к изменению долготы восходящего узла и аргумента перигелия. В работе ^[15] приводится уравнения для вычисления долготы восходящего узла и долготы перигелия в различные моменты времени:

(9)

(10)

где t – время, измеряемое в тысячах лет от J2000 (JD 2451545.0).

Воспользовавшись данными уравнениями можно найти, что за время, равное периоду обращения Юпитера, долгота восходящего узла должна сместиться на 75,5”, долгота перигелия – на 92,0”. Следовательно, смещение аргумента перигелия составит 16,5” или 0,0046º. Т.е. угловое расстояние между двумя последовательными перигелиями Юпитера должно быть 360,005º. Как мы видим из таб. 4 ни один из наборов орбитальных элементов также не даёт нам искомого результата. Наиболее близкое значение мы имеем в случае орбитальных элементов, полученных из барицентрической модели эфемерид Planeph 4.2. Но, при этом мы получаем заниженную величину анималистического (т.е. между двумя последовательными перигелиями) периода обращения.

Проведённые расчёты заставляют нас усомниться в точности используемых орбитальных элементов Юпитера. Как уже было отмечено выше, наибольшей точностью характеризуется сидерический период обращения, а величина большой полуоси и эксцентриситет орбиты требуют уточнения. Путём подстановки различных значений орбитальных элементов в физическую модель орбитального движения был найден следующий набор:

T = 4332,59 сут.,

a = 7,78080·10¹¹ м,

е = 0,04901,

который даёт наилучшие результаты при расчётах обращения Юпитера вокруг Солнца:

- оборот за период обращения = 360,002º,

- смещение аргумента перигелия – 0,003º,

- анималистический период обращения – 4332,61 сут.

K’ = 1,01495·10¹⁶ м²/с.

Заключение

Проведённое исследование показало, что известные орбитальные элементы Юпитера, а также орбитальные элементы, вычисленные на основе его доступных эфемерид, недостаточно точно описывают его орбитальное движение. На основе выполненных расчётов автор предлагает уточнённые значения большой полуоси орбиты – 7,78080·10¹¹ м, и эксцентриситета – 0,04901.