О математическом содержании понятия связанности ссудозаемщиков

Уразаева Татьяна Альфредовна кандидат экономических наук заведующая, ФГБОУ ВО «Поволжский государственный технологический университет» 424032, Россия, Республика Марий Эл, г. Йошкар-Ола, ул. Павленко, 60 Urazaeva Tatiana Alfredovna PhD in Economics Head of the Department of Information Systems in the economy, Volga State University of Technology 424032, Russia, respublika Marii El, g. Ioshkar-Ola, ul. Pavlenko, 60 bor1@mari-el.com Другие публикации этого автора

Бытует мнение, что кредит несет в себе не только созидательное, но и разрушительное начало ^[7]. Во многом это связано с трудностями управления кредитными рисками, с неустойчивостью моделей, применяемых для его оценки.

В течение последних десятилетий, в связи со стремительным внедрением информационных технологий в банковский менеджмент, был разработан целый спектр подходов к управлению кредитными рисками: от нейросетевых технологий управления деятельностью кредитного комитета коммерческого банка ^{[1, 3]} до методов визуального моделирования портфелей срочных финансовых инструментов ^{[16, 19]}, от реализации концепции экономических границ кредита ^[5] до внедрения концепции интегрированного риск-менеджмента ^[11]. Но, не смотря на это, события потери ликвидности кредитных портфелей в практике современных банков продолжают случаться с удивительной регулярностью.

Одним из ключевых факторов такого положения вещей, по мнению автора настоящей статьи, является как недооценка, так и ограниченность понимания такого феномена, как связанность субъектов кредитных договоров. Этот факт и определил предмет настоящей статьи.

Большинство методов оценки кредитного риска предполагают, что кредитные договора в портфеле независимы ^{[1, 2, 4, 14, 15, 18]}. Однако на практике это не всегда так. В рамках анализируемой предметной области связь договоров выражается в терминах группы связанных заемщиков. Рассмотрим особенности оценки кредитного риска с учетом групп связанных заемщиков.

Под связанными заемщиками будем понимать юридических и физических лиц, связанных между собой экономически таким образом, что ухудшение финансового положения одного из них обусловливает или делает вероятным ухудшение финансового положения другого заемщика (других заемщиков). При этом ухудшение финансового положения может явиться причиной неисполнения (ненадлежащего исполнения) им (ими) обязательств перед банком по его кредитным требованиям, например, если один из заемщиков банка является поручителем (гарантом) по обязательствам другого заемщика перед банком, либо если заемщик банка является должником другого заемщика банка ^[10]. Следует отметить, что в течение последних нескольких лет Центральный Банк России существенно расширял и уточнял институциональную составляющую понятия связанных заемщиков ^[6].

Если говорить о практике кредитования, то сегодня крупнейшие банки усиливают акцент на оценке кредитных рисков, которые они принимают на связанных заемщиков ^[8]. При этом оценка производится не только по формальным критериям, но и на основании любой доступной информации о фактическом владении и управлении бизнесом. В связи с этим банки приветствуют максимально полное раскрытие холдинговыми структурами и иными группами предприятий информации о степени их внутренней взаимозависимости. Банки утверждают, что в большинстве случаев это приводит к более выгодным для заемщиков условиям кредитования.

Обещания банков о повышении привлекательности ссудного продукта в условиях максимального раскрытия заемщиками своей институциональной структуры предполагают новый уровень управления рисками. Банки должны точнее рассчитывать свои резервы с целью снижения внутренней стоимости услуг и соответственно расширения диапазона демонстрируемой лояльности к значимым клиентам. Решение этой задачи невозможно без привлечения новых более точных и быстрых методов оценки рисков.

Учитывая экономическое содержание понятия связанности заемщиков, модель кредитного договора, предложенную в работах [13-15, 18], следует трансформировать в соответствии со следующими принципами.

1. Принцип единого экономического пространства. В рассматриваемом контексте этот принцип означает, что классификация всех кредитных договоров как связанных, так и несвязанных заемщиков произведена одинаково – на основе единого подхода, отражающего представления субъекта классификации (банка) о текущей ситуации в экономике. Это, в частности, означает, что вероятности для каждого сценария развития каждого кредитного договора внутри класса оценены одинаково. Другими словами, мы будем предполагать, что все похожие заемщики некоторого сектора экономики действуют в похожих условиях и испытывают в среднем похожие воздействия со стороны окружающей среды. При этом отличия связанных заемщиков от несвязанных находятся не снаружи, то есть во внешней среде, а внутри – в процессах принятия решений с учетом всех видов взаимосвязи субъектов кредитования. Также заметим, что связанные кредиты могут принадлежать разным классам. В этом случае вероятности сценариев по каждому из договоров группы связанных заемщиков оцениваются на начальном этапе согласно принадлежности к классу.

2. Принцип солидарной ответственности. В общем виде этот принцип предполагает существование нескольких должников или нескольких кредиторов в рамках одной и той же обязательственной связи ^[12]. Другими словами, суть этого принципа заключается в создании единства, союза между различными должниками или различными кредиторами, с тем, чтобы каждый из них мог вмешиваться в процесс принятия решения по обслуживанию обязательства или оказаться в роли преследуемого за всю сумму обязательства. В рассматриваемом контексте этот принцип сводится к двум положениям. Во-первых, процессы обслуживания обязательств связанными заемщиками независимы до тех пор, пока не для одного из них не становятся актуальными третий или четвертый сценарии 4-сценарной модели соответствующего кредитного договора ^[14]. И, во-вторых, если в рамках хотя бы одного кредитного договора по группе связанных заемщиков актуализируется третий или четвертый сценарий, то это будет означать реализацию отдельной сценарной модели для всей группы заемщиков с учетом общей ссудной задолженности.

3. Принцип (аксиома) нормирования вероятности. Пусть `Omega` – множество элементарных событий, `ccA` – `sigma`-алгебра подмножеств множества `Omega`, `P` – вероятностная мера на измеримом пространстве `(Omega, quad ccA)`. Тогда для любого вероятностного пространства `(Omega, quad ccA, quad P)` мера всего множества элементарных событий равна единице:

`P(Omega)=1` .

4. Принцип иерархии риска. Этот принцип является частным случаем теоремы 2.5 монографии ^[13] и с использованием обозначений из второй главы этой книги может быть сформулирован следующим образом. Пусть имеется декомпозиция риска на несколько частей. Каждая часть риска содержит один или несколько исходов развития экономики и соответствует некоторому логически выделенному сценарию развития. Если в ходе дальнейшего анализа одного из таких сценариев выясняется наличие в нем ранее не учтенного риска, то часть риска, соответствующая этому сценарию (элемент множества `frP_alpha` , `0<alpha<1` ), просто умножается на выявленный риск (элемент множества `frR` ) и получается новая часть общего риска (элемент снова множества `frP_alpha` ).

Однако прежде чем попытаться переложить экономическое содержание понятия связанности заемщиков на язык моделей, исследуем математическое содержание этого понятия.

Исследуем генезис феномена связанности заемщиков с чисто математической точки зрения.

Рассмотрим случай двух заемщиков. Введем ряд обозначений. Пусть вероятностное пространство `(Omega', quad ccA', quad P')` описывает неопределенность состояний среды, влияющей на первого заемщика. Пусть при этом `sigma` -алгебра событий `ccA'` порождается конечным разбиением `{A'_i}_(i in I')` множества элементарных исходов `Omega'` , таким, что

`uuu_(i in I') A'_i = Omega'` ,

`AA i, quad j quad (i, quad j in I') quad [i!=j quad => quad A'_i nn A'_j =O/]` .

Здесь `I'` – множество видов событий, связанных с развитием договорных отношений с первым заемщиком; `A'_i` – событие `i` -го вида в рамках развития договорных отношений с этим заемщиком, `i in I'` . Вероятностная мера `P'` , заданная на измеримом пространстве `(Omega', quad ccA')` , определяет вероятности событий, связанных с развитием договорных отношений:

`P'(A'_i) = p'_i in ccI` , `i in I'` .

Здесь `ccI = "[" 0, quad 1 "]"sub RR` , а `RR` – множество действительных чисел. Очевидно при этом, что `sum_(i in I') p'_i = 1` .

Пусть, далее, `f': quad Omega'-> RR` – функция финансового результата, полученного в рамках договора с первым заемщиком. Эта функция определяет финансовый результат для каждого элементарного исхода, возможного в рамках данного кредитного договора:

`AA i quad (i in I') quad AA omega quad (omega in A'_i) quad [f'(omega) = c'_i]` .

Используя введенные обозначения, риск договора с первым заемщиком можно описать ^[13] мультимножеством следующего вида:

`{k'(x)**x: quad k'(x) = sum_(i in I') delta((c'_i, quad p'_i), quad x), quad x in uuu_(i in I') {(c'_i, quad p'_i)}}` , (1)

где `delta (x, quad y) ={(1 if x=y),(0 if x!=y):}` – функция-индикатор совпадения аргументов (символ Кронекера).

Пусть вероятностное пространство `(Omega'', quad ccA'', quad P'')` описывает неопределенность состояний среды, влияющей на второго заемщика. Пусть `sigma` -алгебра событий `ccA''` порождается конечным разбиением `{A''_i}_(i in I'')` множества элементарных исходов `Omega''` , таким, что

`uuu_(i in I'') A''_i = Omega''` ,

`AA i, quad j quad (i, quad j in I'') quad [i != j quad => quad A''_i nn A''_j = O/]`,

где `I''` – множество видов событий, связанных с развитием договорных отношений со вторым заемщиком; `A''_i` – событие `i` -го вида в рамках развития договорных отношений со вторым заемщиком, `i in I''` . Соответственно вероятностная мера `P''` , заданная на измеримом пространстве `(Omega'', quad ccA'')` , определяет вероятности событий, связанных с развитием рассматриваемых договорных отношений:

`P''(A''_i) = p''_i in ccI` , `i in I''` .

Также очевидно при этом, что `sum_(i in I'') p''_i = 1` .

Пусть, далее, `f'': quad Omega'' -> RR` – функция финансового результата, полученного в рамках договора со вторым заемщиком. Эта функция определяет финансовый результат для каждого элементарного исхода, возможного в рамках кредитного договора со вторым заемщиком:

`AA i quad (i in I'') quad AA omega quad (omega in A''_i) quad [f''(omega) = c''_i]` .

Соответственно риск договора со вторым заемщиком можно описать мультимножеством следующего вида:

`{k''(x)**x: quad k''(x) = sum_(i in I'') delta((c''_i, quad p''_i), quad x), quad x in uuu_(i in I'') {(c''_i, quad p''_i)} }` . (2)

Исследование начнем со случая, когда наши два заемщика не связаны. Это необходимо влечет независимость событий, связанных с договорами, в теоретико-вероятностном смысле:

`Omega' nn Omega'' = O/` . (3)

Неопределенность состояний среды, влияющей на систему, состоящую из двух таких кредитных договоров, опишем вероятностным пространством `(Omega, quad ccA, quad P)` . Здесь `Omega = Omega' xx Omega''` ; `sigma` -алгебра событий `ccA` порождается разбиением `{A'_i xx A''_j}_(i in I', quad j in I'')` ; вероятностная мера определяется соотношением

`P(A'_i xx A''_j) = P'(A'_i) P(A''_j) = p'_i p''_j` , `i in I'` , `j in I''` .

Легко проверить, что

`sum_(i in I') sum_(j in I'') P(A'_i xx A''_j) = sum_(i in I') sum_(j in I'') p'_i p''_j = ( sum_(i in I') p'_i ) ( sum_(j in I'') p''_j ) = 1` .

Функция финансового результата системы из двух договоров `f: quad Omega -> RR` определяется аддитивно:

`AA i quad (i in I') quad AA j quad (j in I'') quad [ omega in A'_i xx A''_j quad => quad f(omega) = c'_i + c''_j ]` . (4)

Соответственно риск рассмотренной системы из двух договоров можно описать мультимножеством вида:

`{k(x)**x : quad k(x) = sum_(i in I') sum_(j in I'') delta((c'_i + c''_j, quad p'_i p''_j), quad x),`

`x in uuu_(i in I') uuu_(j in I'') {(c'_i+c''_j, quad p'_i p''_j)} } `.

Структура этого мультимножества нам уже знакома: это произведение мультимножеств (1) и (2) в смысле определения (2.7) из монографии ^[13]. Случай вычисления риска системы, состоящей из элементов, каждому из которых присущ свой определенный риск и эти риски независимы, изучался на протяжении всей второй главы цитируемой монографии в более общем виде. Данный частный случай интересен только с точки зрения исследования генезиса феномена связанности заемщиков.

Последовательно рассмотрим варианты проявления связи между заемщиками.

1. Условие (3) не является достаточным для отсутствия связи между заемщиками. Будем считать, что это условие выполнено. Связь между заемщиками может проявиться в форме (частичной) неаддитивности функции финансового результата системы из двух договоров. Иначе говоря, финансовый результат по двум рассматриваемым кредитным договорам может описываться функцией `hat(f) : quad Omega -> RR` , такой, что

`EE ccB quad (O/ != ccB sube ccA) quad [ AA A quad (A in ccB) quad [ omega in A quad => quad hat(f)(omega) != f(omega) ],`

`AA A quad (A in ccA - ccB) quad [ omega in A quad => quad hat(f)(omega) = f(omega) ] ]` .

Такая ситуация возможна например тогда, когда рыночные механизмы развития событий по каждому из двух рассматриваемых договоров не связаны между собой, однако в качестве залога по обоим договорам выступает один и тот же актив достаточной стоимости. В этом случае возможна ситуация, когда при возникновении дефолта по одному из договоров функции `f'` и `f''` учитывают дополнительные затраты на отторжение соответствующей части заложенного единого актива, а в случае возникновения дефолта по обоим договорам (событие из множества `ccB` ) реализуется весь актив, что снижает издержки, то есть

`AA A quad (A in ccB) quad [ omega in A quad => quad hat(f)(omega) > f(omega) ]` ,

см. рисунок 1. Возможен и противоположный случай, когда реализация одной из частей актива в один момент проще, чем продажа всего актива, например, из-за его высокой стоимости для данного региона. В этом случае продажа актива целиком возможна в приемлемый промежуток времени лишь с существенным дисконтом и, таким образом,

`AA A quad (A in ccB) quad [ omega in A quad => quad hat(f)(omega) < f(omega)]` ,

см. рисунок 2.

Рис. 1. Значения функций `f` (рис. а) и `hat(f)` (рис. б) на множестве `Omega` в условиях снижения издержек при продаже актива целиком. Области отличий в значениях функций выделены. Значение функции в точке представлено диаметром круга или окружности. Круг соответствует положительному значению, окружность – отрицательному

Рис. 2. Значения функций `f` (рис. а) и `hat(f)` (рис. б) на множестве `Omega` в условиях значительного дисконта при продаже актива целиком. Области отличий в значениях функций выделены. Значение функции в точке представлено диаметром круга или окружности. Круг соответствует положительному значению, окружность – отрицательному

Заметим, что в рассмотренном примере для данного варианта проявления связи заемщиков было использовано предположение, что при возникновении дефолта реализация залога всегда успешна. Случайный характер успеха или неуспеха реализации залога или части залога не рассматривался.

2. Пусть условие (3) выполнено. Пусть также функция финансового результата аддитивна, то есть выполняется соотношение (4). Рассмотрим другой крайний случай взаимосвязи заемщиков, который выражается лишь в (частичном) перераспределении вероятностной меры.

Опишем неопределенность состояния среды, влияющей на систему, состоящую из двух наших кредитных договоров, несколько измененным вероятностным пространством `(Omega, quad ccA, quad hat(P))` , где `hat(P)` – вновь определенная вероятностная мера, такая, что

`EE ccB quad (ccB sube ccA, quad | ccB | > 1) quad [ sum_(A in ccB) hat(P)(A) = sum_(A in ccB) P(A),`

`A in ccB quad => quad hat(P)(A) !=P(A), quad Ain ccA - ccB quad => quad hat(P)(A)=P(A) ]` .

Представленная ситуация может возникнуть например тогда, когда в условиях фиксированных цен на активы при независимых рыночных механизмах развития ситуации по обоим кредитным договорам процесс реализации актива целиком (при возникновении дефолта сразу по обоим обязательствам) не сводится к процессам его продажи по частям. Здесь так же, как и в предыдущем примере, предполагается, что связанность договоров обусловлена использованием в качестве залога некоторого одного актива достаточной стоимости, части которого формируют залог для первого и второго кредитных договоров. Однако еще раз подчеркнем, что событие «успешная продажа актива» в рассматриваемом случае есть нечто иное, нежели одновременное наступление событий «успешная продажа первой части актива» и «успешная продажа второй части актива». Этот факт может быть отражен в форме частичного перераспределения вероятностной меры, см. рисунок 3.

Рис. 3. Разные вероятностные меры на множестве `Omega` : а – случай, когда продажа актива целиком может рассматриваться как продажа его по частям, при этом вероятность успеха продажи каждой части достаточно высока; б – случай, когда вероятность продажи актива целиком весьма мала, несмотря на то, что продажа одной части актива из двух возможна с достаточной степенью вероятности (один заинтересованный покупатель и его ресурсы ограничены, цены при этом фиксированы). Количественное значение меры подмножества представлено интенсивностью цвета. Показаны меры только тех подмножеств, для которых произошло перераспределение

3. Еще раз обратимся к предыдущему примеру. Заметим, что полная группа событий по каждому из договоров в нем, как и ранее, формируется соответствующим виду договора рыночным механизмом. Однако события, связанные с дефолтом сразу по обоим обязательствам, не сводятся к одновременному наступлению событий из групп событий «дефолт по первому договору» и «дефолт по второму договору». Требующееся в этом случае перераспределение вероятностных мер есть следствие недостаточной детализации реальности разбиением `{A'_i xx A''_j}_(i in I', quad j in I'')` , что фактически означает недостаточную детализацию реальности разбиениями `{A'_i}_(i in I')` и `{A''_i}_(i in I'')` . То есть в условиях отсутствия связи между заемщиками используемой детализации достаточно, а при наличии связи – нет. При выполнении соотношения (3) связанность заемщиков требует дальнейшей детализации разбиения множества `Omega` , в части учета сценариев раздельной и совместной реализации залогов по договорам. До этого разбиения множеств `Omega'` и `Omega''` учитывали лишь сценарии, приводившие к конкретному результату по договору: выполнение обязательств заемщиком, дефолт с успешной реализацией залога, списание безнадежной ссудной задолженности. Сценарии реализации залога по первому договору отдельно, по второму договору отдельно и по обоим договорам одновременно не рассматривались. Учет такой детализации будет означать в том числе фактически (частичный) пересмотр разбиения множества `Omega` и, таким образом, переход к описанию неопределенности состояния среды, влияющей на систему, состоящую из двух наших кредитных договоров, некоторым новым вероятностным пространством `(Omega, quad hat(ccA), quad hat(P))` , в котором `sigma` -алгебра событий `hat(ccA)` , порождена новым разбиением множества `Omega` . Заметим, ввод в рассмотрение нового разбиения вместо `{A'_i xx A''_j}_(i in I', quad j in I'')` влечет не только рассмотрение новой `sigma` -алгебры событий `hat(ccA)` , но и соответственно новой вероятностной меры `hat(P)` и, как правило, новой функции финансового результата `hat(f)` . Иллюстрация этого случая в контексте наших предыдущих примеров приведена на рисунке 4.

Рис. 4. Случай пересмотра разбиения множества `Omega` с целью детализации сценариев реализации общего для обоих договоров залога

Перечисленные три варианта исчерпывают мыслимые с математической точки зрения варианты связанности заемщиков в условиях независимости событий по договорам в теоретико-вероятностном смысле (3). Перейдем к рассмотрению четвертого варианта, теперь уже связанного с теоретико-вероятностной зависимостью событий, происходящих в рамках двух рассматриваемых договоров.

4. Пусть теперь

`Omega' nn Omega'' =A_0 != O/` .

Предположим далее, что `0 !in I' uu I''` и, для простоты, что

`EE ! m quad (m in I') quad [bar(m1) !in I', quad A'_m = A'_(m1) + A_0]` ,

`EE ! n quad (n in I'') quad [bar(n1) !in I'', quad A''_n = A''_(n1) + A_0]` ,

где `bar(ij)` означает индекс, составленный из значений `i` и `j` .

Неопределенность состояний среды, влияющей на систему, состоящую из двух таких кредитных договоров, опишем вероятностным пространством `(Omega, quad ccA, quad P)` , в котором

`Omega = [ (Omega' - A_0) xx (Omega'' -A_0)] uu A_0` ,

а `sigma` -алгебра порождена разбиением

`{A'_i xx A''_j}_(i in I'_1, quad j in I''_1) quad uu quad {A_0}` ,

где `I'_1 = (I' - {m}) uu {bar(m1)}` , `I''_1=(I'' - {n}) uu {bar(n1)}` . В рамках нашего примера с 4-сценарными кредитными договорами данная ситуация представлена на рисунке 5. На рисунке `m = n = 4` и `A_0 = A_(40)` .

Рис. 5. Случай теоретико-вероятностной связи между двумя кредитными договорами

Выразим вероятностную меру `P` через меры `P'` и `P''` . Для этого рассмотрим вероятностные пространства `(Omega', quad ccA', quad P')` , `(Omega'', quad ccA'', quad P'')` и `(Omega, quad ccA, quad P)` с позиций условных вероятностных мер ^[9], порождаемых событием `A_0` , в соответствующих пространствах.

Поскольку

`( uuu_(i in I'_1) A'_i) uu A_0 = Omega'` ,

то

`sum_(i in I'_1) P'(A'_i) + P'(A_0) = 1` .

Используя условную вероятностную меру `P'_(A_0^c)` по наступлению события `A_0^c` , где `A_0^c` – дополнение события `A_0` в вероятностном пространстве `(Omega', quad ccA', quad P')` , можно записать

`P'(A_0^c) sum_(i in I'_1) P'_(A_0^c)(A'_i) + P'(A_0) = 1` ,

здесь

`P'_(A_0^c)(A'_i) = (P'(A'_i)) / (P'(A_0^c))` , `i in I'_1` . (5)

Аналогично, так как

`( uuu_(j in I''_1) A''_j ) uu A_0 = Omega''` ,

то

`sum_(j in I''_1) P''(A''_j) + P''(A_0) = 1` ,

и для вероятностного пространства `(Omega'', quad ccA'', quad P'')` можно записать

`P''(A_0^c) sum_(j in I''_1) P''_(A_0^c)(A''_j) + P''(A_0) = 1` ,

где

`P''_(A_0^c)(A''_j) = (P''(A''_j)) / (P''(A_0^c))` , `j in I''_1` . (6)

Для вероятностного пространства `(Omega, quad ccA, quad P)` из соотношения

`( uuu_(i in I'_1, quad j in I''_1) quad A'_i xx A''_j ) uu A_0 = Omega`

следует, что

`sum_(i in I'_1, quad j in I''_1) quad P(A'_i xx A''_j) quad + quad P(A_0) = 1` ,

или, иначе,

`P(A_0^c) quad sum_(i in I'_1, quad j in I''_1) quad P_(A_0^c)(A'_i xx A''_j) quad + quad P(A_0) = 1` ,

где

`P_(A_0^c)(A'_i xx A''_j) = ( P(A'_i xx A''_j) ) / ( P(A_0^c) )` , `i in I'_1` , `j in I''_1` . (7)

Для условной вероятностной меры `P_(A_0^c)` можно записать:

`P_(A_0^c)(A'_i xx A''_j) = P'_(A_0^c)(A'_i) P''_(A_0^c)(A''_j)` , `i in I'_1` , `j in I''_1` . (8)

Воспользовавшись принципом единого экономического пространства в своем простейшем проявлении, а именно в части независимости частоты наступления события `A_0` от полного вероятностного пространства, в которое оно включено:

`P'(A_0) = P''(A_0) = P(A_0) = p_0` ,

можно записать:

`P'(A_0^c) quad stackrel(Def)(=) quad P'(Omega' - A_0) = P''(A_0^c) quad stackrel(Def)(=) quad P''(Omega'' - A_0) quad =`

`= quad P(A_0^c) quad stackrel(Def)(=) quad P(Omega - A_0) = 1 - P'(A_0) = 1 -p_0`. (9)

В итоге из соотношений (8), (5)-(7) и (9) получаем

`P(A'_i xx A''_j) = 1/(1-P'(A_0)) P'(A'_i) P''(A''_j)` , `i in I'_1` , `j in I''_1` . (10)

Заметив, что

`c'_(m1) = c'_m` , `p'_(m1) = p'_m - p_0` ,

`c''_(n1) = c''_n` , `p''_(n1) = p''_n - p_0` ,

а также используя соотношение (10), риск системы из двух договоров в условиях описанной теоретико-вероятностной зависимости можно описать мультимножеством вида:

`{ k(x)**x : quad k(x) = quad sum_(i in I'_1, quad j in I''_1) quad delta((c'_i + c''_j, quad (p'_i p''_j)/(1 - p_0)), quad x) ,`

`x in quad uuu_(i in I'_1, quad j in I''_1) {(c'_i + c''_j, quad (p'_i p''_j)/(1 - p_0))} } + {(c'_m + c''_n, quad p_0)}` . (11)

В целом, подводя итог, можно предложить классификацию взаимосвязи заемщиков с математической точки зрения, представленную на рисунке 6.

Рис. 6. Классификация связанности заемщиков с математической точки зрения

На рисунке показано, в частности, что новое разбиение множества элементарных исходов системы договоров влечет, как правило, переопределение функции финансового результата и необходимо влечет переопределение вероятностной меры.

Завершая рассмотрение математических аспектов проблемы связанности заемщиков, важно дать общую экономическую интерпретацию предложенной классификации. Так, связанность заемщиков в условиях теоретико-вероятност­ной независимости событий по договорам соответствует случаю, когда субъекты кредитных договоров действуют на разных независимых рынках, а их связь заключена в них самих, например, речь может идти о солидарной ответственности. Во втором случае, в условиях наличия теоретико-вероятностной зависимости событий по договорам, связь между заемщиками обусловлена действиями субъектов кредитных договоров на одном рынке, при этом внутренней связи типа солидарной ответственности может и не присутствовать. И, наконец, заметим, что в общем случае возможна комбинация всех видов связанности заемщиков.

Полученные результаты могут быть использованы при синтезе эффективных вычислительных процедур анализа коллективного поведения систем в условиях связанности различной природы, в частности речь идет о роли соотношения (11) при реализации абстрактной операции вычисления совместного риска (умножения рисков).