Использование вычислительных экспериментов при изучении волновых процессов в линейных и нелинейных средах

Наряду с экспериментальными и теоретическими методами изучения волновых процессов имеет смысл использовать метод компьютерного моделирования ^{[1, 3]}. Он состоит в создании компьютерной модели исследуемого объекта или процесса и проведении серии вычислительных экспериментов [4–8]. Преимущество учебных вычислительных экспериментов состоит в том, что они позволяют: 1) быстро и легко изменять параметры модели; 2) получать более полную информацию о движении различных частиц среды; 3) сформировать наглядные образы изучаемых явлений. Настоящая статья посвящена актуальной проблеме создания простых компьютерных программ, моделирующий различные волновые процессы в одномерных средах.

Для изучения распространения упругих волн в непрерывных средах может быть использована модель одномерной упругой среды, состоящая из N пружинных маятников (осцилляторов), которые расположены в ряд и связаны между собой упругими связями (рис. 1). На каждый осциллятор действует сила вязкого трения, пропорциональная скорости. Заданы начальные смещения и скорости всех осцилляторов. На отдельные осцилляторы действует вынуждающая сила; некоторые осцилляторы колеблются по заданному закону. Крайние осцилляторы могут быть закреплены или свободны. Необходимо изучить колебания этой системы [4 – 6].

Анализируемая система имеет N степеней свободы; ее поведение описывается следующей системой уравнений:

В конечных разностях получаем:

Для решения волновых процессов используется программа ПР–1, содержащая цикл по времени, в котором последовательно перебираются все осцилляторы и вычисляются их ускорения, скорости и смещения, а результат выводится на экран.

Чтобы промоделировать распространение импульса в одномерной среде, достаточно заставить левый элемент среды совершить полколебания. Компьютерная модель ведет себя подобно реальному физическому объекту: мы только определенным образом смещаем левый осциллятор и наблюдаем, как по цепочке осцилляторов распространяется импульс, достигает правого незакрепленного конца и отражается от него (рис. 2.1).

Чтобы изучить распространение гармонической волны и ее отражение от закрепленного или незакрепленного конца струны, необходимо левый осциллятор привести в колебательное движение. Колебания первого осциллятора одномерной среды задаются оператором xi(1):=10*sin(5*t);. При запуске программы видно, как образовавшаяся волна распространяется вдоль упругой среды, отражается от ее правого конца и интерферирует с падающей (рис. 2.2). В узлах (минимумах) образующейся стоячей волны колебания практически отсутствуют, а в пучностях (максимумах) –– происходят с максимальной амплитудой. Чтобы получить две когерентные волны, распространяющиеся навстречу друг другу, достаточно заставить колебаться левый и правый концы струны с равными частотами. Если частоты колебаний будут отличаться, то интерференции в области наложения волн не получится, стоячей волны не возникнет.

Аналогично может быть промоделирована интерференция двух импульсов. Для того, чтобы получить импульс достаточно заставить один из концов одномерной среды совершить одно или два колебания. Если оба конца совершат два колебания с равными частотами, то возникнут два одинаковых импульса (цуга), которые будут распространяться навстречу друг другу. В области наложения цуги, в зависимости от разности хода, будут частично или полностью усиливать либо ослаблять друг друга.

Чтобы изучить отражение импульса от границы раздела двух сред, следует промоделировать распространение импульса вдоль цепочки связанных осцилляторов, в случае, когда их масса или жесткость пружин, начиная с некоторого осциллятора, резко изменяется. Типичные результаты представлены на рис. 3. Если вторая среда имеет большую плотность (массы осцилляторов больше), то скорость распространения импульса в ней оказывается меньше. Это проявляется в том, что во второй среде импульс имеет меньшую пространственную протяженность и за то же время проходит меньшее расстояние, чем отраженный импульс (рис. 3.1). При отражении от границы происходит потеря полуволны, то есть фаза изменяется на противоположную. Видно, что первая полуволна у падающего импульса положительная, а у отраженного –– отрицательная. При отражении от менее плотной среды, в которой импульс распространяется быстрее, потери полуволны не происходит (рис. 3.2).

Известно, что при распространении волны в среде с осцилляторами, собственная частота которых близка к частоте волны, имеет место дисперсия, –– зависимость скорости переноса колебаний (фазовой скорости) от частоты. В результате импульс растягивается, фазовая скорость оказывается не равна групповой скорости переноса энергии. Чтобы визуализировать пространственное распределение энергии, рассчитывают кинетическую и потенциальную энергию каждого осциллятора и упругой связи:

Это позволяет построить график зависимости E(x), являющийся “мгновенной фотографией” распределения энергии вдоль луча (рис. 4). Скорость перемещения максимума функции E(x) равна групповой скорости. Если жесткость k и массу m осцилляторов подобрать так, чтобы частота волны была бы близка к их собственной частоте колебаний, то фазовая скорость (скорость гребня, впадины или нулевого смещения) заметно превышает групповую. Используется программа ПР–1. При временном шаге 0,0001 энергия импульса остается постоянной. На рис. 4.1 – 4.4 представлены “моментальные фотографии”, соответствующие моментам времени 0,6, 1,0, 1,4, 1,8; гребни волны пронумерованы.

Определенный интерес представляет собой проблема распространения возмущения в нелинейной среде. Известно, что в таких средах при определенных условиях могут существовать солитоны –– уединенные волны, сохраняющие свою форму в процессе движения. Примером такой дискретной среды является система из одинаковых математических маятников, соединенных пружинками (рис. 5.1). Из законов механики получаются уравнения:

Используется программа ПР–2, результаты моделирования представлены на рис. 5.2, 5.3 и 5.4. Она позволяет изучить: 1) распространение солитонов типа кинк и антикинк; 2) распространение бризера (антикинк и кинк, следующие друг за другом) –– одиночной полуволны, сохраняющей свою форму (рис. 5.2 и 5.3); 3) столкновение двух кинков (или антикинков), распространяющихся навстречу друг другу, после чего они отталкиваются (рис. 5.4); 4) столкновение антикинка с бризером (рис. 5.5); 5) столкновение кинка и антикинка; 6) столкновение двух бризеров и т.д.

Распространение волны по цепочке математических маятников, связанных упругими связями (рис. 5.1) также может быть описано уравнением синус–Гордона. Это нелинейное уравнение, соответствующее непрерывной модели среды. Запишем его в конечных разностях:

Программа ПР–3 решает уравнение синус–Гордона и позволяет изучить распространение бризера, прохождение бризеров друг сквозь друга (рис. 5.6) и т.д., получив при этом многосолитонные решения.

Применение предлагаемых программ на занятиях по компьютерному моделированию и численным методам способствует повышению интереса студентов к изучаемым вопросам, формированию в их сознании динамичных образов импульса и волны, позволяет в динамике “пронаблюдать” волновые явления в одномерных средах и изучить особенности их протекания при различных условиях ^[4-6]. Рассмотренные компьютерные модели могут быть использованы на факультативах, спецкурсах, интернет-олимпиадах ^[2], а также в исследовательских проектах студентов и школьников.

Ниже приведены тексты используемых компьютерных программ.

Программа ПР-1

Программа ПР-2

Программа ПР-3